Das Zeichnen einer geraden Tangente zum Kreis ist eine Aufgabe, die regelmäßig in der Geometrie auftritt. Ein Fall einer solchen Struktur ist die Konstruktion einer geraden Tangente zum Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises. Diese Methode wird beispielsweise beim Zeichnen eines Tangentialgraphen auf einer Ebene verwendet. In diesem Artikel wird ein detaillierter Algorithmus untersucht, mit dem eine solche Gerade erstellt werden kann.
Bevor wir mit dem Erstellen einer geraden Tangente beginnen, müssen wir die Koordinaten des Berührungspunkts berechnen. Dazu benötigen wir die Gleichung des Kreises und die Koordinaten des Punktes, durch den eine gerade Tangente verlaufen muss. Wenn wir das Gleichungssystem lösen, finden wir die Koordinaten des Berührungspunkts einer geraden Linie und eines Kreises.
Als nächstes können wir mithilfe der gefundenen Koordinaten eine gerade Tangente erstellen. Dazu können Sie ein spezielles geometrisches Werkzeug wie einen Zirkel oder ein Lineal verwenden. Der Build-Algorithmus enthält Schritte wie: führen Sie eine gerade Linie durch den Berührungspunkt und den Mittelpunkt des Kreises, finden Sie die Mitte der Linie zwischen dem Berührungspunkt und dem Mittelpunkt des Kreises, zeichnen Sie eine senkrechte Linie zu dieser Linie und zeichnen Sie die geradste Tangente.
Aufgabenbeschreibung und grundlegende Konzepte
Ein Kreis ist eine Menge von Punkten, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt eines Kreises, gleich weit entfernt sind. Der Kreis hat einen Radius - den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt. Um eine Tangente zu einem Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises zu zeichnen, müssen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises und den Radius kennen.
Eine gerade Tangente ist eine gerade Linie, die ausschließlich an einem Punkt einen Kreis berührt. Eine gerade Tangente zu einem Kreis kann mit geometrischen Konstruktionen erstellt werden, z. B. mit einem Radius, der dem Radius des ursprünglichen Kreises entspricht, um einen orthogonalen Kreis zu zeichnen.
Ein Punkt außerhalb eines Kreises ist ein Punkt, der nicht zu einem Kreis gehört, sondern auf einer geraden Linie liegt, die durch seinen Mittelpunkt verläuft.
| Begriff | Die Beschreibung |
| Kreis | Viele Punkte, die von der Mitte des Kreises gleich weit entfernt sind |
| Kreisradius | Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt |
| Gerade Tangente | Gerade, die den Kreis nur an einem Punkt berührt |
| Punkt außerhalb des Kreises | Ein Punkt, der nicht zu einem Kreis gehört, sondern auf einer geraden Linie liegt, die durch seinen Mittelpunkt verläuft |
Erforderliche Vorkenntnisse
Um eine gerade Tangente zu einem Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises zu verstehen und zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Konzepte und Definitionen kennen:
- Ein Kreis ist die geometrische Position von Punkten auf einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt des Kreises genannt, gleich weit entfernt sind.
- Der Radius eines Kreises ist eine Linie, die den Mittelpunkt eines Kreises mit einem beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet.
- Der Durchmesser eines Kreises ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und sich durch die Mitte des Kreises verläuft.
- Die Tangente des Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur angrenzenden Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
- Tangente ist eine gerade Linie, die eine Kurve an einem und nur einem Punkt berührt.
Wenn Sie diese Konzepte verstehen und mit ihnen arbeiten können, können Sie erfolgreich eine gerade Tangente zum Kreis durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Kreises erstellen.
Punkt- und Kreiskoordinaten
Der Radius eines Kreises ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis. Der Radius eines Kreises wird durch das Symbol r gekennzeichnet und ist für einen gegebenen Kreis konstant.
Wenn Sie die Koordinaten eines Punktes und den Radius eines Kreises kennen, können Sie die Gleichung eines Kreises mithilfe einer Formel finden:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
wobei (a, b) die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises sind.
Wenn Sie die Gleichung eines Kreises kennen, können Sie den Berührungspunkt einer geraden Linie mit einem Kreis finden. Und um durch diesen Punkt eine gerade Tangente zum Kreis zu konstruieren, müssen Sie die Richtung der Tangente kennen. Die Richtung der Tangente wird durch den Radius bestimmt, der zum Berührungspunkt gezogen wird. Die gerade Tangente ist also senkrecht zum Radius.
Wenn Sie also die Koordinaten von Punkt und Kreis kennen, können Sie den Radius und die Gleichung des Kreises berechnen und den Berührungspunkt finden und dann durch diesen Punkt eine gerade Tangente zum Kreis zeichnen.
Abrufen der Koordinaten eines Punktes außerhalb des Kreises
Um die Koordinaten eines Punktes außerhalb des Kreises abzurufen:
1. Legen Sie die Gleichung des Kreises in einer allgemeinen Form fest. Die Kreisgleichung hat die folgende Form: (x-a)2 + (y-b)2 = r2, wobei (a, b) die Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises ist und r der Radius des Kreises ist.
2. Legen Sie die Koordinaten des Punktes außerhalb des Kreises fest, für den Sie eine gerade Tangente zeichnen möchten.
3. Lösen Sie ein Gleichungssystem, das aus einer Kreisgleichung und einer geraden Gleichung besteht, die durch den Mittelpunkt des Kreises und einen gegebenen Punkt verläuft. Ersetzen Sie dazu die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Gleichung einer geraden Linie.
4. Finden Sie die Schnittpunkte einer geraden Linie und eines Kreises, indem Sie ein Gleichungssystem lösen, das aus einer Kreisgleichung und einer geraden Gleichung besteht. Dies kann durch Ersetzen einer geraden Gleichung in eine Kreisgleichung erfolgen und die resultierende quadratische Gleichung relativ zu einer der Variablen (x oder y) lösen.
5. Wählen Sie aus den gefundenen Punkten einen Punkt aus, der näher am angegebenen Punkt liegt.
6. Verwenden Sie den gefundenen Punkt als Punkt auf einer geraden Tangente zum Kreis.
Anmerkung: Wenn sich das Gleichungssystem als unlösbar erweist oder unendlich viele Lösungen aufweist, bedeutet dies, dass die Gerade durch die Mitte des Kreises verläuft.
Beschreibung des Kreises und seiner Koordinaten
Die Koordinaten eines Kreises werden normalerweise mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems definiert. Der Mittelpunkt des Kreises hat Koordinaten (x, y), wobei x die Abszisse (horizontale Achse) und y die Ordinate (vertikale Achse) ist. Der Radius des Kreises wird als r bezeichnet und stellt den Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis dar.
- Ein Kreis mit einem Mittelpunkt am Punkt (2, 3) und einem Radius von 4 hat die Gleichung (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16.
- Ein Kreis mit einem Mittelpunkt am Punkt (-1, 5) und einem Radius von 2.5 hat die Gleichung (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 6.25.
Wenn Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius eines Kreises kennen, können Sie seine Position in der Ebene bestimmen und verschiedene Berechnungen durchführen, z. B. ob ein Punkt zu einem Kreis gehört oder ob es sich um Schnittpunkte mit anderen Formen handelt.
Direkte Quoten
Um eine gerade Tangente zu einem Kreis durch einen Punkt außerhalb des Kreises zu zeichnen, müssen Sie die Koeffizienten dieser geraden Linie definieren. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun.
Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung der Geraden im Allgemeinen zu verwenden: y = kx + b, wobei k der Neigungskoeffizient der Geraden ist und b der freie Term ist. Um diese Koeffizienten zu bestimmen, können Sie zwei Punkte verwenden: Einer ist ein Punkt auf einer geraden Linie und der andere ist der Mittelpunkt des Kreises. Wenn Sie die Koordinaten dieser Punkte kennen, können Sie k und b berechnen.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Tangentenformel des gerade Neigungswinkels zu verwenden: k = tan(α), wobei α der Neigungswinkel der Geraden relativ zur positiven Richtung der Ox-Achse ist. Sie können die geometrischen Verhältnisse verwenden, um den Winkel von α zu bestimmen und dann tan(α) zu berechnen.
Mit einer dieser Methoden können Sie die Verhältnisse einer geraden Linie bestimmen und somit eine gerade Tangente zum Kreis durch einen bestimmten Punkt konstruieren.
Direkte Koeffizienten finden
Um eine gerade Tangente zu einem Kreis durch einen bestimmten Punkt außerhalb des Kreises zu zeichnen, müssen Sie die Koeffizienten der geraden Linie finden, die den Kreis an diesem Punkt berühren wird.
Sei der Punkt A(x) gegeben0, y0) außerhalb des Kreises und des Kreises mit dem Mittelpunkt am Punkt O(x )c, yc) und mit einem Radius von r.
Die Tangentialgleichung wird verwendet, um die Koeffizienten einer geraden zu finden, die die Form einer Tangentialgleichung hat:
wobei l der gewünschte Koeffizient der geraden ist.
Um diese Gleichung zu lösen, müssen drei Situationen berücksichtigt werden:
| Zufall | Bedingung | Der Wert des Koeffizienten |
| 1. | y0 = yc | l = 0 |
| 2. | und0 < undc | l = -Quadrat((xc - x0) 2 + (undc - und0) 2 ) / r |
| 3. | und0 > undc | l = Quadrat((xc - x0) 2 + (undc - und0) 2 ) / r |
Nach dem Finden des Koeffizienten l kann die Gleichung der Geraden als geschrieben werden:
Auf diese Weise erhalten wir eine Gleichung einer geraden Linie, die den Kreis an einem bestimmten Punkt berührt.
Die Beziehung zwischen geraden Koeffizienten und geraden Gleichungen
Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft (x0, y0) und mit einem schrägen Koeffizienten k kann man als:
| y - y0 | = | k(x - x0) |
Diese Gleichung wird als gerade Gleichung in Segmenten bezeichnet, da sie relative Koordinaten (x - x) verwendet0) und (y - y0).
Der k-Faktor kann anhand der Eigenschaften der geraden Linie und des Punktes, durch den er verläuft, ermittelt werden:
- Wenn eine gerade vertikal ist (keine Neigung hat), ist sie parallel zur y-Achse und ihre Gleichung hat die Form x = x0.
- Wenn die Gerade horizontal ist (sie hat eine Neigung von Null), ist sie parallel zur x-Achse und ihre Gleichung hat die Form y = y0.
- Wenn die Gerade geneigt ist, kann der k-Wert anhand der Formel ermittelt werden k = tan(α) wobei α der Winkel der geraden Neigung ist.
Also, wenn man die Koordinaten des Punktes kennt (x0, y0) und der Wert des Neigungskoeffizienten k ist es möglich, eine gerade Gleichung zu konstruieren, die ihre Position im Raum beschreibt.
Gleichung einer Tangente zu einem Kreis
Die Gleichung der Tangente zum Kreis hängt von den bekannten Parametern ab: die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente verläuft, und die Gleichungen des Kreises.
Lassen Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt am Punkt M angegeben werden(x0, y0) und Radius r. Um die Gleichung einer Tangente zu einem Kreis zu definieren, der durch einen bestimmten Punkt A verläuft(x1, y1), Sie können den folgenden Algorithmus verwenden:
Wenn Sie also die Gleichung eines Kreises und die Koordinaten eines Punktes kennen, können Sie die Gleichung der Tangente zum Kreis an einem bestimmten Punkt finden.
