Die Moivre-Methode ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der mathematischen Statistik. Es ermöglicht Ihnen, den Wert einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form zu finden, dh als Modul und Argument. Eine detaillierte Untersuchung der Moivre-Methode ermöglicht es Ihnen, verschiedene Probleme zu lösen, die mit komplexen Zahlen und ihren Operationen verbunden sind.
Was ist die Moivre-Formel?
Die Moivre-Formel ermöglicht es Ihnen, den Grad komplexer Zahlen in exponentieller Form zu berechnen. Es basiert auf der trigonometrischen Grundform einer komplexen Zahl, die sie als Summe eines Moduls und eines Arguments darstellt.
- Die Formel von Moivre hat die folgende Form:
- Für die komplexe Zahl z = r(cosθ + isinθ) und die natürliche Zahl n:
- z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ))
- z ist eine komplexe Zahl
- r - Modul der komplexen Zahl (Abstand vom Ursprung zum Punkt auf der komplexen Ebene)
- θ ist das Argument einer komplexen Zahl (der Winkel zwischen der positiven Richtung der x-Achse und dem Vektor, der den Ursprung und den Punkt auf der komplexen Ebene verbindet)
Die Moivre-Formel ist ein leistungsfähiges Werkzeug, das Sie verwenden können, um Berechnungen mit komplexen Zahlen zu vereinfachen, insbesondere wenn Sie sie in großem Umfang konstruieren. Es findet Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie, wie Elektrotechnik, Physik, Steuerungstheorie usw.
In welchen Fällen wird die Moivre-Formel verwendet?
Wenn es notwendig ist, eine komplexe Zahl in eine Potenz zu bringen, bietet die Moivre-Formel eine bequeme Lösung. Es ermöglicht Ihnen, eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form darzustellen und trigonometrische Funktionen zu verwenden, um den Grad zu berechnen.
Die Moivre-Formel wird auch häufig verwendet, um Wurzeln aus komplexen Zahlen zu finden. Mit der Moivre-Formel können Sie leicht alle Wurzeln eines gegebenen Grades aus einer komplexen Zahl finden, was bei der Lösung von Gleichungen und der Suche nach Lösungen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft nützlich sein kann.
Daher ist die Moivre-Formel ein leistungsfähiges Werkzeug, das in vielen wissenschaftlichen Disziplinen Anwendung findet und es ermöglicht, die Genauigkeit von Berechnungen mit komplexen Zahlen zu vereinfachen und zu verbessern.
Schritt 2: Führen Sie die komplexe Zahl mithilfe der Euler-Formel in eine indikative Form um: r(cos θ + i*sin θ), wo r - modul der komplexen Zahl, und θ - sein Argument oder sein Winkel.
Schritt 3: Geben Sie die Moivre-Formel ab, indem Sie die Indikationsform durch ihr Äquivalent in der trigonometrischen Form ersetzen: r(cos θ + i*sin θ).
Schritt 4: Erweitern Sie die Klammern in der Moivre-Formel und vereinfachen Sie den Ausdruck. Drücken Sie den tatsächlichen und imaginären Teil der Summe in Bezug auf Sinus und Kosinus aus. Zum Beispiel, wenn in der Formel von Moivre ein Ausdruck angegeben ist (a + bi)^n. dann betrachte jedes Spezies-Aggregat a^m * b^(n-m), wo m - eine ganze Zahl von 0 bis n. Vereinfachen Sie jedes Element mit trigonometrischen Formeln (z. B., cos(a+b)=cos a * cos b - sin a * sin b).
Schritt 5: Erhalten Sie das Endergebnis, ausgedrückt in trigonometrischer Form.
Zum Beispiel für eine komplexe Zahl 2 + 2i in algebraischer Form:
Bringen wir es mit der Euler-Formel in eine indikative Form:
θ = arctan(b/a) = arctan(2/2) = π/4
Nun, die Werte zu kennen r und θ. wir können die Formel von Moivre ableiten:
Beispiele für die Verwendung der Moivre-Formel
Beispiel 1:
Betrachten Sie den Ausdruck (1 + i) in Grad 5. Wir können die Moivre-Formel verwenden, um diesen Ausdruck zu berechnen. Im ersten Schritt finden wir das Modul und das Argument der Zahl (1 + i). Das Modul entspricht der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der reellen und imaginären Teile, dh √(1^2 + 1^2) = √2. Das Argument kann mit der Funktion atan2 aus einer mathematischen Bibliothek gefunden werden, z. B. arctan(1/1) = π/4. Jetzt gilt die Formel von Moivre: (r * (cos(θ) + i * sin(θ)))^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ)). In unserem Fall erhalten wir (√2 ^ 5) * (cos (5 * π / 4) + i * sin (5 * π/4)) = 4√2 * (-1/√2 + i/√2) = -4 + 4i.
Beispiel 2:
Nehmen wir an, wir müssen die 6. Wurzel aus der Zahl √3/2 + i/2 finden. Wieder verwenden wir die Moivre-Formel. Finden wir das Modul der Zahl, das der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der reellen und imaginären Teile entspricht: √((√3/2)^2 + (1/2)^2) = √((3/4) + (1/4)) = √1 = 1. Das Zahlenargument kann mit der Funktion atan2 gefunden werden: arctan((1/2)/(√3/2)) = π/6. Wir wenden die Formel von Moivre an: (r * (cos (θ) + i * sin (θ)))^ (1 / n) = r^ (1 / n) * (cos (θ / n) + i * sin (θ / n)). Wir erhalten 1^(1/6) * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) = cos(π/36) + i * sin(π/36).
Beispiel 3:
Betrachten Sie den Ausdruck (2 - 3i) in Grad 4. Finden wir das Modul der Zahl: √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13. Das Argument kann mit der Funktion atan2 gefunden werden: arctan(-3/2) = -1.1071 rad. Wir wenden die Formel von Moivre an: (r * (cos (θ) + i * sin (θ))) ^ n = r^ n * (cos (nθ) + i * sin (nθ)). Wir erhalten (√13^4) * (cos(4 * -1.1071) + i * sin(4 * -1.1071)) = 13^2 * ( cos(-4.4285) + i * sin(-4.4285)) ≈ 14.305 - 20.321i.
Berechnung trigonometrischer Funktionen mithilfe der Moivre-Formel
Die Formel von Moivre hat die folgende Form:
(cos φ + i sin φ) n = cos(nφ) + i sin(nφ)
- φ - argument einer komplexen Zahl;
- n – Exponent;
- i - imaginäre Einheit (i 2 = -1).
Um trigonometrische Funktionen mithilfe der Moivre-Formel zu berechnen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Finde den Wert des Zahlenarguments (φ) und der Gradmesser (n) für die gewünschte Funktion.
- Ausdruckswert berechnen nφ.
- Der resultierende Wert wird durch 180 geteilt und mit π multipliziert, um von Grad zu Bogenmaß zu wechseln.
- Berechnen Sie den Kosinus- und Sinuswert des resultierenden Winkels anhand von Tabellen oder mithilfe eines Rechners.
- Ersetzen Sie den Kosinus und den Sinus des resultierenden Winkels in der Moivre-Formel, um ein endgültiges Ergebnis zu erzielen.
Zum Beispiel, um den Wert der trigonometrischen Funktion sin(2φ) zu berechnen, wobei φ = 45°:
- Wir haben einen Wert gegeben φ ist 45° und es ist erforderlich, den Sin-Wert(2φ) zu finden.
- Da wir den Wert von sin(2φ) berechnen wollen, ist der Gradmesser n ist gleich 2.
- Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks nφ: 2 * 45° = 90°.
- Wir übersetzen 90 ° in Bogenmaß: 90 ° * π / 180 = π / 2.
- Wir finden sin(π/2) in der Tabelle oder mit einem Taschenrechner – das Ergebnis ist 1.
- Wir ersetzen den gefundenen Wert in die Formel von Moivre: sin (2φ) = sin (π /2) = 1.
Also sin(2φ) bei φ = 45° ist gleich 1.
- Sie haben eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form ausgedrückt.
- Sie haben die Formel von Moivre im Allgemeinen aufgeschrieben.
- Sie haben die Werte aus Schritt 1 in die Formel von Moivre eingefügt.
- Sie haben die erforderlichen Berechnungen mit den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen durchgeführt.
- Wir haben das Ergebnis in einer komplexen Form erhalten.
Wir veranschaulichen diesen Prozess anhand eines Beispiels:
Die komplexe Zahl z = 3 + 4i ist gegeben.
Schritt 1: Lassen Sie uns eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form ableiten.
Formel Berechnung r = |z| = √(3 2 + 4 2 ) = 5 r = 5 φ = arctg (Im(z) / Re(z)) = arctg (4 / 3) ≈ 53.13° φ ≈ 53.13° Daher ist die komplexe Zahl z = 3 + 4i in trigonometrischer Form gleich z = 5(cos 53.13° + i sin 53.13°).
Schritte 2 bis 5: Wir werden die Formel von Moivre aufschreiben und lösen.
Die Formel von Moivre Berechnung z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) z 3 = 5 3 (cos(3 * 53.13°) + i sin(3 * 53.13°)) z 3 = 125(cos(159.39°) + i sin(159.39°)) z 3 ≈ 125(-0.766 + 0.643i) Das Ergebnis der Berechnung der Moivre-Formel für die Zahl z 3 bei z = 3 + 4i ist also die komplexe Zahl z 3 ≈ 125(-0.766 + 0.643i).
Mit dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung können Sie die Moivre-Formel für verschiedene komplexe Zahlen und Grade einfach ableiten.
