Eine Diskriminante ist eine Zahl, die die Art der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bestimmt, dh sie erlaubt uns zu verstehen, ob die Gleichung tatsächliche Wurzeln hat oder ob sie komplexe Zahlen sind. Der Diskriminant wird anhand einer Formel berechnet, die von den Koeffizienten der Gleichung abhängt.
Es gibt jedoch Situationen, in denen die Diskriminanz kleiner als Null sein kann. In solchen Fällen wird gesagt, dass die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat. Stattdessen werden die Wurzeln der Gleichung komplexe Zahlen darstellen, die eine imaginäre Einheit enthalten.
Eine Diskriminante kleiner als Null tritt auf, wenn der untergeordnete Ausdruck in der Diskriminanzformel negativ ist. Dies bedeutet, dass es keine Werte gibt, die unter der Wurzel eine positive Zahl ergeben. Als Ergebnis werden die Wurzeln der Gleichung komplexe Zahlen sein, die die Summe der reellen und imaginären Teile darstellen.
Daher sagt uns eine Diskriminante kleiner als Null, dass die Gleichung komplexe Wurzeln hat. Dies bedeutet, dass die Wurzeln der Gleichung als a + bi dargestellt werden, wobei a und b reelle Zahlen sind und i eine imaginäre Einheit ist, die als Quadratwurzel von -1 definiert ist.
Definition von Diskriminanz
ax 2 + bx + c = 0
wo a, b und c - dies sind Koeffizienten, die beliebige reelle Zahlen sein können.
Diskriminante wird durch ein Symbol gekennzeichnet Δ (ausgesprochen "Delta") und wird nach der Formel berechnet:
Δ = b 2 - 4ac
Der Wert des Diskriminanten ermöglicht es Ihnen, die folgenden Fälle zu identifizieren:
- Wenn Δ > 0 dann hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln;
- Wenn Δ = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine reelle Wurzel. Diese Wurzel wird als "Multiplikationswurzel 2" bezeichnet, da sie zweimal vorkommt;
- Wenn Δ < 0, dann hat die quadratische Gleichung keine reellen Wurzeln. In diesem Fall wird gesagt, dass die Wurzeln "komplex" sind.
Daher spielt der Wert des Diskriminanten eine wichtige Rolle bei der Lösung quadratischer Gleichungen und ermöglicht es Ihnen zu bestimmen, wie viele Wurzeln eine solche Gleichung erwarten kann.
Die Verbindung des Diskriminanten mit den Wurzeln der Gleichung
Die Diskriminante wird mit der Formel berechnet: D = b^2 - 4ac, wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung ax^2 + bx + c = 0 sind. Es sollte beachtet werden, dass ein Diskriminant drei verschiedene Werte annehmen kann: eine positive Zahl, eine negative Zahl oder eine Null.
Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D > 0), hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln. Dies bedeutet, dass es zwei Variablenwerte gibt, bei denen die Gleichung eine Lösung hat.
Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), hat die Gleichung eine einzige gültige Wurzel. In diesem Fall hat die Gleichung einen einzelnen Variablenwert, bei dem sie eine Lösung haben wird.
Diskriminante und Wurzelarten
wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
Mit dem Diskriminanten-Wert können Sie die folgenden Wurzeltypen definieren:
| D-Wert | Wurzeltyp |
|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene reelle Wurzeln |
| D = 0 | Eine echte Wurzel |
| D < 0 | Keine wirklichen Wurzeln |
Wenn der Diskriminant positiv ist, hat die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Wenn der Diskriminant Null ist, gibt es eine reelle Wurzel, die auch eine Wurzel mit einer Multiplizität von 2 ist. Wenn die Diskriminanz negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, aber sie können komplex sein.
Minimaler Diskriminanzwert
Der Mindestwert des Diskriminanten ist Null und entspricht einer Situation, in der eine quadratische Gleichung nur eine Wurzel hat. Dies tritt auf, wenn der untergeordnete Ausdruck Null ist. In diesem Fall wird die Wurzel der quadratischen Gleichung genau mit ihrem Scheitelpunkt übereinstimmen. Diese Option wird als Gleichung mit einer einzigen gültigen Wurzel bezeichnet.
Wenn jedoch ein Diskriminant einen negativen Wert annimmt, hat die quadratische Gleichung keine gültigen Wurzeln im Bereich realer Zahlen. Stattdessen hat die Gleichung komplexe Wurzeln oder fehlt überhaupt. Eine Diskriminante kleiner als Null deutet darauf hin, dass die quadratische Gleichung die x-Achse nicht schneidet und ihr Diagramm keine Schnittpunkte mit dieser Achse aufweist.
Daher ist der minimale Diskriminantenwert für eine quadratische Gleichung Null, bei der nur eine gültige Wurzel vorhanden ist. Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln und ihr Diagramm schneidet nicht die x-Achse. Die Kenntnis des minimalen Werts des Diskriminanten hilft bei der Analyse quadratischer Gleichungen und beim Verständnis ihrer geometrischen Bedeutung.
