Eine Gleichung der Form x2 + 5x + 7 = 0 ist eine quadratische Gleichung von Grad zwei. Quadratische Gleichungen sind algebraische Gleichungen, wobei der höchste Wert einer Variablen zwei ist.
Um die Anzahl der Wurzeln dieser Gleichung zu bestimmen, müssen Sie ein Diskriminant verwenden. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung wird durch die Formel D = b2 - 4ac berechnet.
In diesem Fall hat die Gleichung die Koeffizienten a = 1, b = 5 und c = 7. Indem wir ihre Werte in die Diskriminanzformel einfügen, erhalten wir D = 52 - 4 * 1 * 7 .
Wenn wir diesen Ausdruck berechnen, erhalten wir D = 25 - 28 = -3. Da der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Antwort: Die Gleichung x2 + 5x + 7 = 0 hat keine Wurzeln.
Gleichung x2 + 5x + 7 = 0: Wie viele Wurzeln gibt es?
Um die Anzahl der Wurzeln einer solchen Gleichung zu bestimmen, müssen Sie den Diskriminanten anhand der Formel D = b2 - 4ac berechnen.
In diesem Fall erhalten wir durch Ersetzen der Werte der Koeffizienten D = 52 - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = -3.
Der Wert des Diskriminanten D ist negativ, was bedeutet, dass die quadratische Gleichung x2 + 5x + 7 = 0 keine reellen Wurzeln hat. In einer komplexen Ebene hat es jedoch zwei komplexe Wurzeln.
Konzept der Gleichung
Im Allgemeinen könnte die Gleichung so aussehen:
Die Hauptaufgabe beim Lösen von Gleichungen besteht darin, die Werte unbekannter Größen zu finden, bei denen die Gleichheit ausgeführt wird.
Eine dieser Gleichungen ist die quadratische Gleichung. Die quadratische Gleichung hat die Form:
wo a, b und c - das sind Koeffizienten, wobei a ≠ 0.
Sie können die Diskriminanzformel verwenden, um eine quadratische Gleichung zu lösen:
Wenn der Diskriminant kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei gültige Wurzeln.
Wenn wir also eine quadratische Gleichung lösen, können wir bestimmen, wie viele Wurzeln sie hat und welche Werte diese Wurzeln haben.
Die quadratische Gleichung und ihre Form
Es gibt drei mögliche Optionen für den Wert eines Diskriminanten:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung genau eine reelle Wurzel.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern zwei komplexe Wurzeln.
Die Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann mit einer Formel durchgeführt werden: x = (-b ± √D) / (2a), wobei ± zwei mögliche Wurzelwerte bezeichnet.
Wenn Sie nun die Form der quadratischen Gleichung und die Werte ihrer Koeffizienten kennen, können Sie die Anzahl und Art der Wurzeln bestimmen, die sie hat.
Die Diskriminante der quadratischen Gleichung
- Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel, die real ist.
- Wenn der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, kann aber komplexe Wurzeln haben.
Die Verbindung des Diskriminanten mit der Anzahl der Wurzeln
Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 hat die folgende Diskriminante: D = b 2 – 4ac. Ein Diskriminant kann drei Werte annehmen: positiv, negativ oder Null.
- Wenn der Diskriminant D > 0 ist, hat die Gleichung zwei gültige Wurzeln.
- Wenn die Diskriminante D < 0 ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Komplexe Wurzeln sind jedoch möglich.
- Wenn die Diskriminante D = 0 ist, hat die Gleichung eine gültige Wurzel.
Wie man eine Diskriminanz berechnet
D = b 2 - 4ac
- Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel, die ein Vielfaches ist.
- Wenn D < 0, dann hat die Gleichung keine reellen Wurzeln. In diesem Fall können Lösungen nur in komplexen Zahlen gefunden werden.
Die Berechnung des Diskriminanten ist ein wichtiger Schritt bei der Lösung quadratischer Gleichungen. Wenn Sie die Anzahl der Wurzeln kennen, können Sie die entsprechende Formel anwenden, um sie zu finden. Die Definition von Wurzelwerten ermöglicht es uns, verschiedene mathematische und physikalische Phänomene zu untersuchen.
Die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung finden
Ersetzen Sie die Werte der Koeffizienten in die Formel und berechnen Sie die Diskriminanz:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$
Die Diskriminanz ist negativ, was bedeutet, dass die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat.
Daher hat die Gleichung $x^2+5x+7=0$ keine Wurzeln.
Lösung der Gleichung basierend auf dem Wert des Diskriminanten
- Wenn der Diskriminant kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine wirklichen Lösungen. In diesem Fall wird gesagt, dass die Gleichung zwei komplexe Wurzeln hat.
- Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel. Diese Wurzel wird als Doppelwurzel bezeichnet.
- Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
Für eine gegebene Gleichung:
- Sein Diskriminant ist D = 5^2 - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = -3.
- Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die Gleichung x^2 + 5x + 7 = 0 keine reellen Lösungen und hat zwei komplexe Wurzeln.
Sie können die Diskriminanzformel verwenden, um die Anzahl der Wurzeln einer gegebenen Gleichung zu bestimmen:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln.
Die Diskriminante für diese Gleichung ist: D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4*1*7 = 25 - 28 = -3.
Daher hat die Gleichung x^2 + 5x + 7 = 0 keine reellen Wurzeln, da die Diskriminanz negativ ist.
