Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann eine unterschiedliche Anzahl von Lösungen haben: eine, unendlich viele oder überhaupt keine Lösungen. Wie kann ich die Anzahl der Lösungen in einem bestimmten System ermitteln?
Dazu müssen die Koeffizienten vor den Variablen in den Systemgleichungen analysiert werden. Betrachten wir in unserem Fall das Gleichungssystem 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0.
Die erste Gleichung hat zwei Teilnehmer: die Variablen x und y mit den Koeffizienten 2 bzw. 1. Die zweite Gleichung hat nur die Variable y, mit einem Koeffizienten von 2. Wenn Sie logisch denken, können Sie feststellen, dass die erste Gleichung eine Gerade und die zweite eine horizontale Gerade beschreibt.
Wie aus der grafischen Darstellung des Gleichungssystems ersichtlich ist, schneiden sich die Diagramme der geraden Daten am Punkt x=2, y=3. Folglich hat das System dieser Gleichungen eine Lösung und ist eine gemeinsame Lösung.
Wie finde ich die Anzahl der Gleichungssystemlösungen 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0 ohne Lösung heraus
In diesem Fall ist das Gleichungssystem 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0 ein Paar von Geraden auf einer Ebene. Die erste Gleichung gibt eine Gerade an, die einen schrägen Koeffizienten von 2 aufweist und durch einen Punkt verläuft (0, 7), und die zweite Gleichung gibt eine horizontale Gerade an, die durch einen Punkt verläuft (0, 3/2).
Wenn sich diese beiden Geraden an einem Punkt kreuzen, hat das System die einzige Lösung. Wenn die Geraden parallel zueinander sind und sich nicht überschneiden, hat das System keine Lösungen. Und schließlich, wenn die Geraden übereinstimmen und unendlich viele gemeinsame Punkte haben, hat das System eine unendliche Anzahl von Lösungen.
Anhand dieser Informationen kann man sehen, dass eine durch die Gleichung 2x + y = 7 gegebene Gerade niemals parallel zu einer durch die Gleichung 2y - 3 = 0 gegebenen Geraden sein kann. Sie können sich nicht kreuzen oder zusammenfallen. Daher hat das Gleichungssystem keine Lösungen.
Eine Gleichung der Form A*x + B*y = C und D*x + E*y = F
Wenn die Gleichung die Form A*x + B*y = C und D*x + E*y = F hat, kann ein solches Gleichungssystem drei Lösungsmöglichkeiten haben: eine einzige Lösung, eine unendliche Anzahl von Lösungen oder keine Lösungen.
1. Wenn die Koeffizienten A, B, D und E nicht Null sind und der Determinator der Systemmatrix einen Wert ungleich Null hat, hat das System eine einzige Lösung. In diesem Fall gelten die Regeln der Cramer-Methode oder anderer Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen.
2. Wenn die Koeffizienten A, B, D und E Null sind und die freien Mitglieder C und F ebenfalls Null sind, hat das System eine unendliche Anzahl von Lösungen. In diesem Fall entsprechen alle x- und y-Werte dem Gleichungssystem, und seine grafische Darstellung ist direkt.
3. Wenn die Koeffizienten A, B, D und E Null sind und mindestens eines der freien Mitglieder von C und F nicht Null ist, dann hat das System keine Lösungen. In diesem Fall schneiden sich die Graphen der beiden Gleichungen nicht und sind parallel zu geraden Linien.
Wenn bekannt ist, dass D = 0, E = 0 und F ≠ 0 sind, nimmt das System die Form A*x + B*y = C und 0 = F. Ein solches System, bei dem eine der Gleichungen keine Variablen x und y enthält, hat keine Lösungen. Ein Beispiel für eine solche Gleichung könnte 2x + y = 7 und 0 = 5 sein.
Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass die Analyse von Koeffizienten und freien Mitgliedern die Anzahl der Lösungen in einem Gleichungssystem der Form A*x + B*y = C und D*x + E*y = F bestimmt. Mit verschiedenen Lösungsmethoden können Sie den genauen Wert von Lösungen ermitteln oder deren Fehlen feststellen.
Das Kriterium für die Gleichheit der Werke A*E und B*D
Lassen Sie das Gleichungssystem gegeben werden:
| 2x + y | = | 7 | (1) |
| 2y - 3 | = | 0 | (2) |
Betrachten Sie die Matrix des Systems:
Wir berechnen das Produkt A*E und B*D:
| A*E | = | (2)*(2) - (1)*(0) | = | 4 |
| B*D | = | (2)*(7) - (1)*(3) | = | 11 |
Wenn A*E ≠ B*D ist, hat das Gleichungssystem eine einzige Lösung.
Wenn A*E = B*D ≠ 0 ist, hat das Gleichungssystem keine Lösungen.
Wenn A*E = B*D = 0 ist, hat das Gleichungssystem eine unendliche Anzahl von Lösungen.
Wir wenden das Gleichheitskriterium der Werke A * E und B * D auf unser Gleichungssystem an:
Da A*E ≠ B*D ist, ist das Gleichungssystem 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0 ohne Lösung.
Wenn A*E nicht gleich B*D ist, hat das System genau eine Lösung
Gleichungen können in Matrixform geschrieben werden:
[2 1] [x] = [7]
[0 2] [y] = [3]
wo [2 1] und [0 2] - Koeffizientenmatrizen, [x] und [y] - variable Spalten und [7] und [3] - freie Mitgliederspalten.
Der Determinator der Koeffizientenmatrix wird als A*E - B*D berechnet.
Indem wir die Werte aus dem System ersetzen, erhalten wir eine Determinante:
A*E - B*D = (2*2) - (0*1) = 4 - 0 = 4
Wenn A*E nicht gleich B*D ist, in diesem Fall ist 4 nicht gleich 0, dann hat das System genau eine Lösung.
Für dieses Gleichungssystem kann man also ziemlich sicher sagen, dass es genau eine Lösung hat.
Wenn A*E gleich B*D ist, überprüfen wir die Gleichheit der Werke von C*E und B*F
Wenn das Produkt der Koeffizienten A und E gleich dem Produkt der Koeffizienten B und D ist (dh A*E = B*D), hat das Gleichungssystem eine unendliche Anzahl von Lösungen oder eine Lösung, die ein Strahl ist. In diesem Fall müssen wir überprüfen, ob das Produkt der Koeffizienten C und E mit dem Produkt der Koeffizienten B und F gleich ist (C * E = B * F).
Wenn C*E gleich B*F ist, hat das System eine unendliche Anzahl von Lösungen oder eine Lösung als Strahl. Ansonsten hat das System keine Lösungen.
Wenn wir dies auf unser ursprüngliches Gleichungssystem 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0 anwenden, können wir sehen, dass A = 2, B = 1, C = 7, D = 0, E = 2 und F = 3 ist. Ersetzen Sie die Werte in unsere Formeln und überprüfen Sie die Gleichheit:
(2*2) = (1*0) => 4 = 0 ( ungleichheit)
Daher können wir daraus schließen, dass das Gleichungssystem eine nicht leere Anzahl von Lösungen oder eine unendliche Anzahl von Lösungen aufweist.
Wenn C*E nicht gleich B*F ist, hat das System keine Lösungen
In diesem Gleichungssystem sind die Koeffizienten vor den Variablen x und y in der ersten Gleichung 2 bzw. 1 (C = 2, E = 1) und in der zweiten Gleichung -2 und 3 (B = -2, F = 3). Auf dieser Grundlage können wir die Werte von C*E und B* F berechnen.
Da die Bedingung C*E ≠ B*F erfüllt ist (-6 ≠ 2), hat das Gleichungssystem 2x + y = 7 und 2y - 3 = 0 keine Lösungen.
Dies deutet darauf hin, dass diese Gleichungen zwei parallele Geraden auf der Ebene angeben, die sich niemals schneiden und keine Schnittpunkte haben.
