Ein Dreieck ist in einen Kreis eingeschrieben, wenn alle seine Eckpunkte auf dem Kreis liegen. Dies erzeugt besondere Eigenschaften und Beziehungen in diesem Dreieck. Sie können verschiedene Formen in eines dieser Dreiecke einfügen, z. B. ein rechteckiges oder gleichseitiges Dreieck. Eine solch wichtige Frage, die gestellt werden kann, ist, wie viele Grad es in einem Dreieck gibt, das in einen Kreis eingeschrieben ist.
Unabhängig von der Art des Dreiecks, das in den Kreis eingegeben wird, beträgt die Summe aller Winkel im Dreieck immer 180 Grad. Das bedeutet, dass selbst wenn ein Dreieck in einen Kreis passt, es immer noch die gleiche Summe an Winkeln hat wie ein normales Dreieck. Mit anderen Worten, die Summe aller drei Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
Die Antwort auf die Frage nach der Anzahl der Grad in einem in einen Kreis eingeschriebenen Dreieck hängt also vom Dreieck selbst ab. Für verschiedene Dreiecke in dieser bestimmten Kategorie ist die Antwort unterschiedlich. Die Summe der Winkel beträgt jedoch immer 180 Grad, unabhängig vom Typ des Dreiecks.
Grad in einem in einen Kreis eingeschriebenen Dreieck
Die Grad in einem Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist, haben ihre eigene Besonderheit. Die gesamte Summe der Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecks beträgt immer 180 Grad. Dies ist unabhängig von der Größe des Dreiecks oder des Radius des Kreises.
Wenn also ein Winkel in einem in den Kreis eingeschriebenen Dreieck 90 Grad beträgt (rechter Winkel), beträgt die Summe der beiden verbleibenden Winkel 90 Grad.
Wenn kein rechtwinkliges Dreieck in einem Kreis enthalten ist, beträgt die Summe aller Winkel 180 Grad, sodass die Dreiecke als spitz-, Stumpf- oder gleichseitig unterschieden werden können.
Die Kenntnis dieser Regel hilft bei der Lösung verschiedener Probleme, die mit in Kreise eingeschriebenen Dreiecken verbunden sind, und ermöglicht es Ihnen, mit Hilfe von geometrischen Berechnungen genauere Ergebnisse zu erzielen.
Definieren eines Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist
Die zentralen Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecks sind Winkel, deren Eckpunkte auf dem Kreis liegen und die Seiten durch die Mitte des Kreises verlaufen. Solche Winkel werden in Grad von 0 bis 180 gemessen.
Anmerkung: Wenn ein Dreieck in einen Kreis eingeschrieben ist, ist der Hauptwinkel des Dreiecks, der durch den Durchmesser des Kreises und eine der Seiten des Dreiecks gebildet wird, immer 90 Grad.
Die Summe der Winkel eines Dreiecks, das in einen Kreis eingegeben wurde
Lassen Sie das Dreieck ABC, das in einen Kreis mit der Mitte von O eingeschrieben ist, gegeben werden. Lassen Sie uns die Radien OA, OB und OC zeichnen, die die Strahlen sein werden, die von der Mitte des Kreises ausgehen und die Seiten des Dreiecks ABC kreuzen.
| Der Winkel | Bezeichnung | Die Beschreibung |
|---|---|---|
| ∠A | Winkel A | Winkel am Scheitelpunkt A |
| ∠B | Winkel In | Winkel am Scheitelpunkt B |
| ∠C | Winkel Mit | Winkel an der Spitze C |
Entsprechend den Eigenschaften des Dreiecks, das in den Kreis eingetragen ist, entspricht jeder Winkel ∠A,BB und ∠C dem halben hundertsten Winkel, der von einem einzigen Strahl gebildet wird, der die Mitte des Kreises O mit dem Scheitelpunkt und der Seite des Dreiecks verbindet:
| Der Winkel | Bezeichnung | Bedeutung |
|---|---|---|
| ∠A | Winkel A | ∠AOB / 2 |
| ∠B | Winkel In | ∠BOC / 2 |
| ∠C | Winkel Mit | ∠COA / 2 |
Daher ist die Summe aller drei Winkel von ∠A + ∠B +CC gleich:
∠AOB / 2 + ∠BOC / 2 + ∠COA / 2 = (∠AOB + ∠BOC + ∠COA) / 2 = 180° / 2 = 180°
Daher ist die Summe der Winkel eines in einen Kreis eingeschriebenen Dreiecks immer 180 Grad.
Eine Seite eines Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist
Für ein in einen Kreis eingeschriebenes Dreieck ist jede Seite ein Akkord. Aus den Eigenschaften des Kreises ergibt sich, dass der Akkord, der durch die Mitte des Kreises verläuft, ein Durchmesser ist.
Wenn also eine der Seiten des in den Kreis eingeschriebenen Dreiecks der Durchmesser des Kreises ist, wird der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, ein rechtwinkliger Winkel sein - 90 Grad.
Wenn jedoch eine der Seiten des Dreiecks kein Kreisdurchmesser ist, kann der Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt, beliebig sein. Um einen Winkel zu finden, können Sie in diesem Fall den Satz der eingeschriebenen Winkel verwenden.
Zwei Ecken eines Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist
Wenn das Dreieck vollständig in den Kreis passt, beträgt die Summe seiner beiden Winkel an der Basis 180 Grad.
Um diese Tatsache zu beweisen, können Sie den Satz über den zentralen Winkel verwenden. Wenn wir eine Linie vom Mittelpunkt des Kreises zu jedem Eckpunkt des Dreiecks ziehen, erhalten wir drei gleiche Winkel, da jeder von ihnen ein zentraler Winkel ist, der auf dem Bogen des Kreises basiert.
Da die Summe der Winkel im Dreieck 180 Grad beträgt, entspricht jeder Winkel auf der Grundlage des Dreiecks 180° - (Winkel auf der Grundlage von/2), wobei Winkel auf der Grundlage die Summe von zwei gleichen Winkeln ist.
Wenn beispielsweise der Winkel auf der Grundlage eines Dreiecks 60 Grad beträgt, ist jeder der beiden gleichen Winkel gleich (180° - 60°)/2 = 60 grad.
| Winkel basierend auf einem Dreieck | Gleiche Winkel |
|---|---|
| 30 grad | 75 grad |
| 45 grad | 67,5 grad |
| 60 grad | 60 grad |
| 90 grad | 45 grad |
Die Summe der beiden Winkel auf der Grundlage eines Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist, wird also immer 180 Grad betragen.
Die Bedingungen für das Bestehen eines Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist
Damit ein Dreieck in einen Kreis eingegeben werden kann, müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
Bedingung 1: Alle Eckpunkte des Dreiecks sollten auf dem Kreis liegen.
Das heißt, wenn das Dreieck die Eckpunkte A, B und C hat, muss jeder dieser Eckpunkte auf dem Kreis liegen, dh der Abstand vom Eckpunkt zum Mittelpunkt des Kreises muss gleich sein.
Bedingung 2: Die Summe der Winkel des Dreiecks sollte 180 Grad betragen.
Dies ist eine obligatorische Eigenschaft eines Dreiecks, unabhängig davon, ob es in einen Kreis eingeschrieben ist oder nicht. Die Summe aller inneren Winkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.
Bedingung 3: Wenn das Dreieck ABC in einen Kreis geschrieben ist, liegt sein Mittelpunkt des Kreises auf den senkrechten Linien, die von den Mitte aller Seiten des Dreiecks gezogen werden.
Das heißt, wenn D, E und F jeweils die Mittelpunkte der Seiten AB, BC und AC sind, liegt der Punkt O, der der Mittelpunkt des Kreises ist, am Schnittpunkt aller senkrechten Punkte, die von den Punkten D, E und F gezogen werden.
Ein Dreieck, das all diese Bedingungen erfüllt, wird als in einen Kreis eingeschrieben bezeichnet.
Berechnen der Winkel eines Dreiecks in einem Kreis
Wenn ein Dreieck in einen Kreis geschrieben ist, können wir eine Eigenschaft verwenden, um die Winkel dieses Dreiecks zu berechnen, die besagt, dass der vom Akkord gebildete Mittelwinkel dem doppelten Winkel auf dem Kreis entspricht.
Angenommen, wir haben ein Dreieck ABC, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Die Eckpunkte des Dreiecks sind die Punkte A, B und C, und der Radius des Kreises wird als r bezeichnet. Die Winkel des Dreiecks werden entsprechend als A, B und C bezeichnet.
Es ist bekannt, dass der Akkord von AB der Durchmesser eines Kreises ist, daher misst der Winkel an der Spitze von A 90 Grad. Daher sollten der Winkel von BAC und der Winkel von ABC gleich sein. Schreiben wir sie als x auf.
Da der zentrale Winkel des AOC dem doppelten Winkel des Kreises entspricht, stellt sich heraus, dass der Winkel des ACB 2x Grad misst.
Schauen wir uns nun das Dreieck ACB an. Die Summe aller Winkel des Dreiecks beträgt 180 Grad. Es ist bekannt, dass der Winkel von ACB 2x Grad ist und der Winkel von BAC 90 Grad ist. Wenn wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
Indem wir die Gleichung vereinfachen, erhalten wir:
Subtrahieren wir 90 von beiden Seiten:
Teilen wir beide Seiten durch 3:
Daher sind die Winkel des Dreiecks, das in den Kreis eingeschrieben ist, gleich: A = 90 Grad, B = 30 Grad und C = 30 Grad.
