Abgeleitete Funktion – dies ist eines der wichtigsten Konzepte in der Mathematik, das in Physik, Wirtschaft und anderen Wissenschaften weit verbreitet ist. Sie können bestimmen, wie schnell sich der Wert einer Funktion ändert, abhängig von der Änderung des Arguments. Das Finden der Ableitung ermöglicht es Ihnen, die Tangente zum Funktionsdiagramm zu finden und die Extrema der Funktion zu bestimmen.
Es gibt mehrere Methoden, um eine abgeleitete Funktion zu finden. Einer der einfachsten und am häufigsten verwendeten ist die Anwendung eines Regeldifferenzierungsalgorithmus. Um dies zu tun, müssen Sie die grundlegenden Formeln kennen, um eine Ableitung für verschiedene Arten von Funktionen zu erhalten.
Zum Beispiel eine abgeleitete Funktion \[f(x)=x^n\], wo \[n\] - eine ganze Zahl ist ein Produkt \[n\] auf \[x^\]. Eine konstante Funktion hat immer eine Ableitung von Null. Und wenn die Funktionsableitung kleiner als Null ist, nimmt der Funktionsgraph an der entsprechenden Stelle ab.
Was ist eine Funktionsableitung
Die abgeleitete Funktion wird durch ein Symbol gekennzeichnet f'(x) oder dy/dx. Es stellt den Grenzwert für das Inkrementverhältnis einer Funktion zu einem Inkrement eines Arguments dar, wenn das letzte auf Null tendiert. Formal ist die Ableitung einer Funktion als Ausdrucksgrenze definiert:
f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
Die geometrische Bedeutung einer abgeleiteten Funktion besteht darin, den Winkelkoeffizienten der Tangente zum Funktionsdiagramm an jedem Punkt zu bestimmen. Wenn die Ableitung der Funktion positiv ist, bedeutet dies, dass der Graph der Funktion an diesem Punkt ansteigt und der Graph bei einer negativen Ableitung der Funktion abnimmt. Die Null der abgeleiteten Funktion zeigt das Extremum an - das Maximum oder Minimum der Funktion.
Sie können eine abgeleitete Funktion mit verschiedenen Methoden berechnen, einschließlich Differenzierungsregeln, z. B. die Regel der abgeleiteten Summe, des abgeleiteten Produkts und der abgeleiteten komplexen Funktion. Mit diesen Methoden können Sie Ableitungen für verschiedene Arten von Funktionen finden, einschließlich Polynomen, trigonometrischen Funktionen, Logarithmen und Exponentialfunktionen.
Das Studium der abgeleiteten Funktion ermöglicht es, viele Aufgaben in Physik, Wirtschaft, Ingenieurwesen und anderen Bereichen im Zusammenhang mit der Analyse und Optimierung von Prozessen zu lösen. Die Funktionsableitung findet auch Anwendung in numerischen Methoden zur Lösung von Gleichungen, zur Annäherung von Funktionen und zur Modellierung.
Formeln zum Finden einer Ableitung
Im Folgenden sind die grundlegenden Formeln zum Finden der Ableitung aufgeführt:
| Funktionstyp | Abgeleitete Formel |
|---|---|
| Konstante | f'(x) = 0 |
| Potenzfunktion | f'(x) = n*x^(n-1) |
| Exponentialfunktion | f'(x) = a^x*ln(a) |
| Logarithmusfunktion | f'(x) = 1/(x*ln(a)) |
| Winkelfunktion | f'(x) = cos(x) |
| Umkehrfunktion | f'(x) = 1/f'(f^-1(x)) |
| Summe oder Differenz von Funktionen | f'(x) = f1'(x) ± f2'(x) |
| Produkt von Funktionen | f'(x) = f1'(x)*g(x) + f1(x)*g'(x) |
| Privat zwei Funktionen | f'(x) = (f1'(x)*g(x) - f1(x)*g'(x))/(g(x))^2 |
| Kettenregel | f'(x) = f1'(g(x))*g'(x) |
Diese Formeln ermöglichen es Ihnen, eine Ableitung für die meisten Funktionen zu finden, die in der Mathematik vorkommen. Es gibt auch komplexe Funktionen, für die zusätzliche Methoden und Regeln erforderlich sind.
Es ist wichtig, diese Formeln zu kennen und sie anzuwenden, um die Probleme bei der Suche nach einer abgeleiteten Funktion erfolgreich zu lösen.
Die Formel der abgeleiteten Potenzfunktion
Die Formel der abgeleiteten Potenzfunktion mit dem Exponenten des Grads n lautet wie folgt:
wo f'(x) - abgeleitete Funktion, n - Exponent, a - koeffizient vor der Variablen, x - Funktionsargument.
Die Ableitung einer Potenzfunktion ermöglicht es Ihnen, die Änderungsrate der Funktion an jedem Punkt im Diagramm zu ermitteln. Außerdem können Sie spezielle Punkte wie Extrema und Wendepunkte definieren.
Funktion gegeben f(x) = 2x^3. Um die Ableitung dieser Funktion zu finden, können wir die Formel einer abgeleiteten Potenzfunktion verwenden.
Daher ist die Ableitung der Funktion f(x) = 2x^3 gleich f'(x) = 6x^2.
Die Formel für die abgeleitete Summe von Funktionen
Die Ableitung der Summe von zwei oder mehr Funktionen kann mit einer Formel gefunden werden:
| (f + g)' = f' + g' |
wobei f und g Funktionen sind und f' und g' jeweils ihre Ableitungen sind.
Um die abgeleitete Summe von Funktionen zu berechnen, müssen Sie die Ableitungen jeder Funktion einzeln finden und sie dann addieren. Die Ableitung der Summe kann daher als Summe der abgeleiteten Summenfunktionen gefunden werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel die Funktionen f(x) = 2x^2 und g(x) = 3x + 1 haben. Um die Ableitung der Summe dieser Funktionen zu finden, müssen Sie zuerst ihre Ableitungen finden:
| f'(x) = 4x |
| g'(x) = 3 |
Dann können wir mit der abgeleiteten Summenformel der Funktionen die Ableitung der Summe finden:
| (f + g)' = f' + g' |
| (2x^2 + 3x + 1)' = 4x + 3 |
Die Ableitung der Summe der Funktionen von 2x^2 + 3x + 1 wäre also 4x + 3.
Die Formel für die abgeleitete Summe von Funktionen ermöglicht es uns, abgeleitete komplexere Funktionen zu finden, die aus mehreren Bestandteilen bestehen. Es ist ein Hauptbestandteil im Studium des Differentialkalkulars und findet seine Anwendung in verschiedenen Bereichen von Wissenschaft und Technologie.
Die Formel für das abgeleitete Produkt von Funktionen
Das abgeleitete Produkt zweier Funktionen kann mithilfe der abgeleiteten Produktformel gefunden werden:
(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Wobei f(x) und g(x) zwei Funktionen sind und f'(x) und g'(x) jeweils ihre Ableitungen sind.
Die Anwendung dieser Formel kann nützlich sein, wenn Sie die Ableitung komplexer Funktionen berechnen, die als Funktionsprodukt dargestellt werden.
Die Funktion f(x) = (x^2 + 3x)(2x - 1) ist gegeben. Wir werden ihre Ableitung finden.
Wenn wir die Formel eines abgeleiteten Produkts anwenden, erhalten wir:
f'(x) = (2x + 3)(2x - 1) + (x^2 + 3x)(2) = 4x^2 - 2x + 6x - 3 + 2x^2 + 6x = 6x^2 + 10x - 3.
Die Ableitung der Funktion f(x) ist also 6x^2 + 10x - 3.
Lösungsbeispiele
- Finde die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^2. Wir verwenden die Differenzierungsregel der Potenzfunktion: Wenn wir eine Funktion haben f(x) = x^n, dann ist seine Ableitung gleich f'(x) = nx^ . Wenn wir diese Regel auf unsere Funktion anwenden, erhalten wir: f'(x) = 2 \cdot 3x^ = 6x Daher ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^2 gleich f'(x) = 6x.
- Betrachten Sie die Funktion f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1. Um eine abgeleitete Funktion zu finden, können wir jedes Mitglied einzeln unterscheiden.
- Wir differenzieren das Mitglied 5x^3:
- Wir verwenden die Differenzierungsregel der Potenzfunktion und erhalten:
d(5x^3)/dx = 3 \cdot 5x^ = 15x^2 - Wir differenzieren das Mitglied -2x^2:
- Wir verwenden auch die Differenzierungsregel der Potenzfunktion:
d(-2x^2)/dx = -2 \cdot 2x^ = -4x - Wir differenzieren das Mitglied 7x:
- Da es hier keine Potenzfunktion gibt, wenden wir die Differenzierungsregel der linearen Funktion an:
d(7x)/dx = 7 - Wir differenzieren das Mitglied -1:
- Die Konstante hat eine Ableitung von Null:
d(-1)/dx = 0
Wir sammeln die resultierenden Teile zusammen und erhalten die Ableitung der Funktion:
f'(x) = 15x^2 - 4x + 7
Beispiel für das Finden einer abgeleiteten Potenzfunktion
Betrachten Sie ein Beispiel für eine abgeleitete Funktion f(x) = x 3 :
| Ordnung | Ableitung |
|---|---|
| 1 | 3x 2 |
In diesem Beispiel haben wir eine Ableitungsregel für eine Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Indikator verwendet. Die allgemeine Formel für diese Regel lautet wie folgt:
| Ordnung | Ableitung |
|---|---|
| 1 | f'(x) = n * x n-1 |
Daher ist die Ableitung einer Potenzfunktion mit einem positiven ganzzahligen Indikator gleich n * x n-1 , wo n - ein Indikator für den Grad der Funktion und x - die Variable, nach der die Funktion differenziert wird.
Beispiel für das Finden einer abgeleiteten Summe von Funktionen
Angenommen, wir haben zwei Funktionen, $f(x)$ und $g(x)$, und wir möchten die Ableitung ihrer Summe finden.
Zuerst finden wir die Ableitung der Funktion $f(x)$. Sei $f(x) = 3x^2 + 2x$. Um eine Ableitung zu finden, nehmen wir eine Ableitung von jedem addierten Element einzeln:
| $\frac(3x^2)$ | = | $6x$ |
| $\frac(2x)$ | = | $2$ |
Jetzt finden wir die Ableitung der Funktion $g(x)$. Sei $g(x) = 4x - 1$. Nehmen wir in ähnlicher Weise eine Ableitung von jedem konstituierenden:
| $\frac(4x)$ | = | $4$ |
| $\frac(-1)$ | = | $0$ |
Jetzt können wir die Ableitung der Summe der Funktionen $f(x) + g(x)$ finden. Die Ableitung der Summe entspricht der Summe der Ableitungen, daher:
| $\frac(f(x) + g(x))$ | = | $\frac(3x^2 + 2x) + \frac(4x - 1)$ |
| = | $6x + 2 + 4$ | |
| = | $6x + 6$ |
Die Ableitung der Summe der Funktionen $f(x) + g(x)$ ist also $6x + 6$.
