Brüche sind ein integraler Bestandteil von Arithmetik und Mathematik im Allgemeinen. Wir alle erinnern uns daran, wie wir in der Schule gelernt haben, Brüche zu reduzieren und Zahlen in ihre Nenner zu teilen. Aber was ist mit Brüchen, die nicht geschnitten werden können? Gibt es solche Brüche und wie viele gibt es?
In diesem Artikel werden wir uns eine bestimmte Aufgabe ansehen: wie viele korrekte, nicht reduzierbare Brüche gibt es mit dem Nenner 17? Um diese Frage zu beantworten, erinnern wir uns an ein paar Konzepte aus dem Schulprogramm.
Ein richtiger Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Teiler haben. In unserem Fall suchen wir nach nicht reduzierbaren Brüchen mit dem Nenner 17.
Was ist die Anzahl der richtigen, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17?
Die Zahl 17 ist eine Primzahl, was bedeutet, dass ihr Nenner keine anderen Teiler hat als 1 und sich selbst. Daher wird jede natürliche Zahl, die kleiner als 17 ist, ein möglicher Zähler für einen korrekten, nicht reduzierbaren Bruch mit dem Nenner 17 sein.
Die Gesamtzahl solcher Brüche kann mit der Euler-Formel ermittelt werden, die lautet:
Anzahl der nicht reduzierbaren Brüche = (Nenner - 1) / 2
In diesem Fall ist die Anzahl der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 gleich (17 - 1) / 2 = 8.
Es gibt also 8 richtige, nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 17.
Das Konzept des richtigen Bruchs
Zum Beispiel sind die Brüche 1/2, 2/3, 3/4 und 5/7 Beispiele für korrekte Brüche, da die Zähler kleiner als die Nenner sind und diese Brüche nicht durch ganze Zahlen oder nicht reduzierbare Brüche dargestellt werden können.
Brüche, deren Zähler nicht kleiner als der Nenner ist, werden als falsche Brüche bezeichnet.
Der Begriff des richtigen und falschen Bruchs spielt eine wichtige Rolle, insbesondere bei der Arbeit mit Brüchen bei der Lösung von Problemen, Division, Vergleich usw.
Bruchkontraktivität
Um die Kontraktilität eines Bruches mit dem Nenner 17 zu bestimmen, müssen Sie alle Zahlen von 1 bis 17 finden, die Teiler von 17 sind. In diesem Fall ist die Zahl 17 eine Primzahl, da sie nur zwei Teiler hat - 1 und sich selbst. Daher bilden alle Zähler, die kein Vielfaches von 17 sind, korrekte, nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 17.
Daher ist die Anzahl der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 gleich der Anzahl aller Zahlen von 1 bis 17, mit Ausnahme der Zahl 17 selbst.
Insgesamt gibt es 16 richtige, nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 17.
Definition eines nicht reduzierbaren Bruchs
Um festzustellen, ob ein Bruchteil unokratisch ist, müssen Sie den größten gemeinsamen Zähler- und Nenner-Teiler finden. Wenn dieser größte gemeinsame Teiler 1 ist, ist der Bruch nicht reduzierbar.
Unokratische Brüche spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Sie ermöglichen es Ihnen, Brüche in der einfachsten und leichtesten Form darzustellen, die Sie analysieren können. Zum Beispiel ist es bei der Lösung des Problems, einen Bruchteil zu reduzieren, bequem, ihn zuerst in eine nicht reduzierte Form zu bringen. Auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden nicht reduzierte Brüche verwendet, wo sie dazu beitragen, das Wahrscheinlichkeitsverhältnis von Ereignissen so genau wie möglich darzustellen.
In diesem Fall können wir durch die Untersuchung von nicht reduzierbaren Brüchen mit dem Nenner 17 herausfinden, wie viele solcher Brüche existieren und welche Zähler sie haben können. Dies wird uns helfen, die Eigenschaften und Eigenschaften von Brüchen im Allgemeinen besser zu verstehen und den konkreten Fall von nicht reduzierbaren Brüchen am Beispiel der Zahl 17 zu betrachten.
Nenner-Dimension
Der Nenner eines Bruchs ist eine Zahl, die angibt, in wie viele Teile eine ganze Zahl geteilt werden soll. Die Nenner-Dimension bestimmt, in wie viele Teile eine ganze Zahl geteilt werden kann.
Im Fall von korrekten, nicht reduzierbaren Brüchen mit dem Nenner 17 beträgt die Nenner-Dimension 17. Dies bedeutet, dass eine ganze Zahl in 17 gleiche Teile geteilt werden kann.
Alle richtigen, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 können als 1/n-Bruch dargestellt werden, wobei n eine der Zahlen von 1 bis 16 ist, mit Ausnahme von Zahlen, die die Multiplikatoren von 17 sind (1, 17). Es gibt also 14 richtige, nicht reduzierbare Brüche mit dem Nenner 17.
Jeder dieser Brüche ist korrekt, da der Zähler immer 1 und kleiner als der Nenner ist.
Die richtigen, nicht reduzierbaren Brüche finden
Sie können einen Algorithmus verwenden, der auf den Eigenschaften von Primzahlen und Bruchteilen basiert, um alle korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 zu finden.
1. Beginnen Sie mit einem Zähler gleich 1.
2. Überprüfen Sie jede Zahl zwischen 2 und 16 auf eine Primzahl:
- Wenn eine Zahl eine Primzahl ist und sie sowohl den Zähler als auch den Nenner nicht teilt, fügen Sie sie der Liste der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche hinzu.
Ein Beispiel: 2 ist eine Primzahl und teilt den Zähler und den Nenner nicht gezielt, daher ist 2/17 ein richtiger, nicht reduzierbarer Bruch.
- Wenn eine Zahl eine Primzahl ist und sie den Zähler anvisiert, aber keinen Nenner teilt, dann überspringen Sie sie und fahren Sie mit der nächsten Zahl fort.
Ein Beispiel: 3 ist eine Primzahl und teilt den Zähler mit dem Ziel, teilt aber den Nenner 17 nicht mit dem Ziel, daher ist 3/17 kein richtiger, nicht reduzierbarer Bruch.
- Wenn eine Zahl eine Primzahl ist und sie den Nenner anvisiert, aber den Zähler nicht teilt, dann überspringen Sie ihn und fahren Sie mit der nächsten Zahl fort.
Ein Beispiel: 5 ist eine Primzahl und teilt den Nenner 17 mit dem Ziel, teilt aber den Zähler 1 nicht mit dem Ziel, daher ist 5/17 kein richtiger, nicht reduzierbarer Bruch.
3. Wiederholen Sie die Schritte 2 und 3 für alle Zahlen 2 bis 16.
Als Ergebnis der Ausführung des Algorithmus finden wir alle korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17:
2/17, 3/17, 4/17, 6/17, 7/17, 8/17, 9/17, 10/17, 11/17, 12/17, 13/17, 14/17, 15/17, 16/17.
Vollständige Informationen zu korrekten, nicht reduzierbaren Brüchen können durch Anwenden eines Algorithmus auf alle möglichen Nenner erhalten werden.
Anzahl der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17
Die Primzahl 17 hat 16 Zähler, die kleiner sind als sie und sind zueinander einfach. Zu allen Primzahlen, mit Ausnahme der Zahl 17 selbst, sind alle Zahlen von 1 bis 16 gegenseitig einfach. Zahlen, die ein Vielfaches von 17 sind (außer der Zahl 17 selbst), sind jedoch nicht gegenseitig einfach, daher müssen sie ausgeschlossen werden.
Daher ist die Anzahl der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 16 - die Anzahl der Zahlen, die ein Vielfaches von 17 sind, die kleiner als 17 sind.
17 wird nur durch die Zahl 1 und sich selbst geteilt, daher gibt es keine Zahlen, die ein Vielfaches von 17 sind, die kleiner als 17 sind. Daher ist die Anzahl der korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 gleich 16.
Also haben wir uns das Problem der Anzahl der richtigen, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 angesehen. Als Ergebnis unserer Berechnungen haben wir festgestellt, dass es 8 solcher Brüche gibt. Sie werden durch die folgenden Werte dargestellt:
Alle diese Brüche sind korrekt und nicht reduzierbar, was bedeutet, dass sie außer 1 keine gemeinsamen Teiler haben. Unsere Forschung hat es uns ermöglicht, die genaue Anzahl solcher Brüche zu ermitteln und sie explizit darzustellen.
