In der Geometrie gibt es neben gewöhnlichen Formen wie Dreiecken und Quadraten auch geometrische Objekte wie Parallelogramme. Parallelogramme haben viele interessante Eigenschaften und sind wichtig für das Studium vieler Abschnitte der Mathematik, einschließlich linearer Algebra und Vektoralgebra.
Eines der wichtigsten Konzepte im Zusammenhang mit Parallelogrammen ist ihre Fläche. Wie misst man die Fläche eines Parallelogramms, wenn wir nur Vektoren haben, die seine Seiten beschreiben? In der Mathematik gibt es einen Beweis, der es ermöglicht, die Fläche eines Parallelogramms durch ein Vektorprodukt auszudrücken.
Dieser Beweis basiert auf dem Konzept eines Vektorprodukts, das es uns ermöglicht, einen neuen Vektor senkrecht zu diesen Vektoren zu erhalten. Das Vektorprodukt zweier Vektoren entspricht dem Modul eines von ihnen, multipliziert mit dem Projektionsmodul des zweiten Vektors auf einer Ebene, die senkrecht zum ersten Vektor steht.
Beschreibung der Fläche eines Parallelogramms in Mathematik
Um die Fläche eines Parallelogramms anhand von Vektoren zu berechnen, müssen Sie ein Modul für das Vektorprodukt dieser Vektoren definieren. Das Modul eines Vektorprodukts entspricht der Fläche des durch diese Vektoren gebildeten Parallelogramms.
Lassen Sie zwei Vektoren gegeben werden: AB und AC. ihre Koordinaten im zweidimensionalen Raum werden als geschrieben:
AB = (x1, y1)
AC = (x2, y2)
Dann kann die Fläche des Parallelogramms S anhand der Formel berechnet werden:
S = |x1 * y2 - x2 * y1|
Somit kann die Fläche eines Parallelogramms in der Mathematik durch das Modul des Vektorprodukts seiner Drittanbieter-Vektoren ausgedrückt werden. Diese Methode ist effektiv und ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen, ohne die Länge seiner Seiten und die Winkel zwischen ihnen kennen zu müssen.
Beweis für die Fläche eines Parallelogramms
Sie können Vektormethoden verwenden, um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen. Zunächst müssen Sie die Vektoren finden, die die entgegengesetzten Eckpunkte des Parallelogramms verbinden.
Lassen Sie die Vektoren gegeben werden A und B die beiden Seiten des Parallelogramms entsprechen. Dann kann der Vektor, der ihre Scheitelpunkte verbindet, als Differenz zwischen Vektoren gefunden werden: C = B - A.
Dann müssen Sie die Länge dieses Vektors ermitteln, was Sie mit der Vektorlängenformel tun können: |C| = sqrt(C 2 ).
Der resultierende Vektor wird in Längeneinheiten gemessen, und daher ist seine Fläche gleich einer Längeneinheit multipliziert mit der anderen. Für unser Beispiel wäre dies |C| * |A|.
Die Fläche des Parallelogramms kann jedoch negativ sein, wenn der Vektor C es stellte sich heraus, dass es in die entgegengesetzte Richtung gerichtet war. Um den absoluten Flächenwert zu erhalten, nehmen Sie das Modul des resultierenden Werts.
| Punktkoordinaten | Vektor |
|---|---|
| Spitze A | A |
| Spitze B | B |
| Spitze C | C = B - A |
Die Fläche eines Parallelogramms kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden: S = |C| * |A|.
Beachten Sie, dass dieser Beweis nur für die Ebene gilt. Wenn sich ein Parallelogramm im 3D-Raum befindet, müssen Sie ein gemischtes Produkt von Vektoren verwenden, um sein Volumen zu berechnen.
Verknüpfung der Fläche eines Parallelogramms mit den Längen der Vektoren
Die Fläche eines Parallelogramms kann mit den Längen der Vektoren berechnet werden, die seine Seiten definieren. Dazu können Sie die Formel verwenden:
wobei S die Fläche eines Parallelogramms ist,
a und b sind Vektoren, die die Seiten eines Parallelogramms angeben,
× - Operation eines Vektorprodukts.
Die Längen der Vektoren a und b können mit der Formel gefunden werden:
wo ist a1 und a2 - komponenten des Vektors a,
b1 und b2 - komponenten des Vektors b.
Sie können die Fläche eines Parallelogramms berechnen, indem Sie die Längenwerte der Vektoren in eine Formel für eine Fläche einfügen.
Daher ermöglicht die Verknüpfung der Fläche eines Parallelogramms mit den Längen der Vektoren die Bestimmung der Fläche eines Parallelogramms, indem nur Informationen über die Längen seiner Seiten verwendet werden.
Geometrische Interpretation der Fläche eines Parallelogramms
Betrachten Sie ein Parallelogramm, das von zwei Vektoren gebildet wird u und v. Lassen Sie den Ursprung dem Scheitelpunkt des Parallelogramms entsprechen, das durch den Schnittpunkt der Vektoren gebildet wird. Dann Vektoren u und v definieren Sie zwei Seiten eines Parallelogramms.
Sie können die folgende Methode verwenden, um die Fläche eines Parallelogramms zu ermitteln:
- Finde das Vektorprodukt von Vektoren u und v, bezeichnen wir es als w.
- Berechnen Sie die Länge des Vektors w.
- Die Fläche eines Parallelogramms entspricht dem Vektormodul w.
Die geometrische Interpretation dieser Methode ist, dass das Vektorprodukt w ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene des Parallelogramms steht. Die Länge dieses Vektors wird uns die Fläche des Parallelogramms geben, da es dem Produkt der Längen der beiden Seiten des Parallelogramms und des Sinuswinkels zwischen ihnen entspricht.
Die geometrische Interpretation des Parallelogrammbereichs durch ein Vektorprodukt ermöglicht es daher, es mit Hilfe von Vektoren visuell darzustellen und mit ihren Eigenschaften leicht zu berechnen.
Berechnung der Fläche eines Parallelogramms
Die Fläche eines Parallelogramms kann mit einem Vektorprodukt von zwei Seiten berechnet werden.
Lassen Sie die Vektoren gegeben werden a und b, die die Seiten des Parallelogramms sind, und S - die Fläche dieses Parallelogramms.
Vektorkoordinaten a und b kann als dargestellt werden:
| a = (a1, a2, a3) |
| b = (b1, b2, b3) |
Um ein Vektorprodukt zu berechnen c die folgende Formel wird verwendet:
| c = a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) |
Das Vektorprodukt kennen c, es ist möglich, seine Länge zu berechnen:
| |c| = √(c1 2 + c2 2 + c3 2 ) |
Die Fläche eines Parallelogramms entspricht dem Modul eines Vektorprodukts:
| S = |c| |
So kann die Fläche eines Parallelogramms berechnet werden, indem man die Koordinaten seiner Seiten kennt Vektoren a und b. Mit der Formel für ein Vektorprodukt und seine Länge können Sie den Flächenwert eines Parallelogramms abrufen S.
Beispiele für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms nach Vektoren
Beispiel 1:
Betrachten Sie ein Parallelogramm, dessen Seiten durch die folgenden Vektoren definiert sind: AB = (2, 3, 1) und AD = (-1, 4, 2).
Um die Fläche eines Parallelogramms anhand von Vektoren zu berechnen, müssen Sie das Vektorprodukt dieser Vektoren finden:
AB x AD = (3 * 2 - 1 * 4, 1 * (-1) - 2 * 2, 2 * 3 - (-1) * 1) = (2, -5, 7).
Das Modul des Vektorprodukts entspricht der diagonalen Länge des Parallelogramms: |AB x AD| = sqrt(2^2 + (-5)^2 + 7^2) = sqrt(4 + 25 + 49) = sqrt(78).
Da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der Längen seiner beiden Seiten ist, dann:
S = |AB x AD| = sqrt(78) * |AB| = sqrt(78) * sqrt(2^2 + 3^2 + 1^2) = sqrt(78) * sqrt(4 + 9 + 1) = sqrt(78) * sqrt(14) = sqrt(1092).
Daher ist die Fläche dieses Parallelogramms gleich sqrt(1092).
Beispiel 2:
Betrachten Sie ein Parallelogramm, dessen Seiten durch die folgenden Vektoren definiert sind: AB = (3, -1, 2) und AD = (2, 4, 1).
Wie im vorherigen Beispiel berechnen wir das Vektorprodukt dieser Vektoren:
AB x AD = (-1 * 1 - 4 * 2, 2 * 1 - 3 * 1, 3 * 4 - (-1) * 2) = (-9, -1, 14).
Das Modul des Vektorprodukts entspricht der diagonalen Länge des Parallelogramms: |AB x AD| = sqrt((-9)^2 + (-1)^2 + 14^2) = sqrt(81 + 1 + 196) = sqrt(278).
Da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der Längen seiner beiden Seiten ist, dann:
S = |AB x AD| = sqrt(278) * |AB| = sqrt(278) * sqrt(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(278) * sqrt(9 + 1 + 4) = sqrt(278) * sqrt(14) = sqrt(3892).
Daher ist die Fläche dieses Parallelogramms gleich sqrt(3892).
Um also die Fläche eines Parallelogramms nach Vektoren zu berechnen, müssen Sie das Vektorprodukt dieser Vektoren finden und sein Modul berechnen. Dieses Modul muss dann mit der Länge einer der Seiten des Parallelogramms multipliziert werden. Der resultierende Wert stellt die Fläche des Parallelogramms dar.
