Zählmenge - dies ist eine Menge, für die eine zueinander eindeutige Übereinstimmung mit vielen natürlichen Zahlen hergestellt werden kann. Um zu beweisen, dass eine Menge von Zahlen der Art 1 2n gezählt ist, bedeutet dies, eine solche Übereinstimmung zu finden und ihre Richtigkeit zu beweisen.
Betrachten wir zunächst die Menge der natürlichen Zahlen N, die per Definition ein Zählwert ist. Das heißt, für jede natürliche Zahl gibt es eine einzige entsprechende Zahl von N.
Betrachten wir nun eine Menge von Zahlen der Form 1 2n, wobei n zu N gehört. Diese Menge besteht aus einer unendlichen Anzahl von Elementen, von denen jedes als 1 2n dargestellt werden kann. Wir wollen beweisen, dass diese Menge auch zählbar ist.
Um eine Übereinstimmung zwischen einer Menge von Zahlen der Form 1 2n und einer Menge natürlicher Zahlen herzustellen, können Sie jede Zahl aus einer Menge natürlicher Zahlen nehmen und die Formel 1 2n darauf anwenden. Daher entspricht jeder natürlichen Zahl eine einzige Zahl aus der Menge 1 2n.
Definieren einer Menge von Zahlen der Form 1 2n
Eine Menge von Zahlen der Form 1 2n, wobei n zu N gehört, ist eine Zählmenge. Dies bedeutet, dass die Elemente einer gegebenen Menge in einer Sequenz angeordnet werden können, die mit natürlichen Zahlen übereinstimmt.
Um zu verstehen, wie eine bestimmte Menge aufgebaut wird, muss daran erinnert werden, dass 2n der Multiplikation einer Zahl mit 2 entspricht. Dementsprechend werden Zahlen der Form 1 2n erhalten, indem die Zahl 1 mit 2 multipliziert wird, die auf die Potenz n erhöht ist.
Daher entspricht jede Zahl der Form 1 2n einem bestimmten Grad der Zahl 2. Zum Beispiel ergibt sich bei n = 0 die Zahl 1, bei n = 1 die Zahl 2, bei n = 2 die Zahl 4 und so weiter.
Sie können feststellen, dass jede Zahl der Form 1 2n ein eindeutiges Element dieser Menge darstellt. Da die Menge der natürlichen Zahlen N eine Zählung ist, ist auch die Menge der Zahlen der Form 1 2n eine Zählung, da jede Zahl eindeutig dem entsprechenden natürlichen Grad der Zahl 2 zugeordnet werden kann.
Daher ist eine Menge von Zahlen der Form 1 2n, wobei n zu N gehört, eine Zählmenge.
Was ist eine Menge von Zahlen der Form 1 2n?
Im Allgemeinen können Zahlen der Form 1 2n wie folgt dargestellt werden:
| n=1 | 1 * 2^1 = 2 |
| n=2 | 1 * 2^2 = 4 |
| n=3 | 1 * 2^3 = 8 |
| n=4 | 1 * 2^4 = 16 |
| n=5 | 1 * 2^5 = 32 |
| . | . |
Daher besteht eine Menge von Zahlen der Form 1 2n aus einer unendlichen Folge von Zahlen, die mit der Zahl 2 beginnen und sich mit jedem nächsten Element verdoppeln.
Welche Zahlen sind in dieser Menge enthalten?
Eine Menge von Zahlen der Form 1 2n, wobei n zu natürlichen Zahlen gehört, enthält alle Zahlen, die durch Multiplikation der Zahl 1 mit der Potenz der Zwei erhalten werden können.
Diese Menge enthält also Zahlen: 1, 2, 4, 8, 16, 32 und so weiter.
Das Besondere an diesen Zahlen ist, dass sie sich mit jeder nächsten Zahl verdoppeln. Zum Beispiel wird die Zahl 2 durch Multiplizieren der Zahl 1 mit 2 erhalten, die Zahl 4 durch Multiplizieren der Zahl 1 mit 2 im Quadrat, die Zahl 8 durch Multiplizieren der Zahl 1 mit 2 im Würfel und so weiter.
Eine solche Menge ist unendlich, da Sie den Wert des Indikators n weiter erhöhen und alle neuen Zahlen dieser Sequenz erhalten können.
Sie können eine Tabelle verwenden, um diese Zahlen einfacher darzustellen:
| n | Zahl |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 4 |
| 4 | 8 |
| 5 | 16 |
| 6 | 32 |
| . | . |
Daher können alle Zahlen einer gegebenen Menge als Tabelle dargestellt werden, wobei Spalte "n" den Wert für den Grad der Zweien anzeigt, und Spalte "Zahl" die entsprechende Zahl, die durch Multiplikation der Zahl 1 mit dem Wert dieses Grads erhalten wird.
Eigenschaften einer Menge von Zahlen der Form 1 2 n
Um diese Tatsache zu beweisen, können Sie ein Biektionskonstrukt mit vielen natürlichen Zahlen verwenden.
Betrachten Sie die Anzeige von f: N → , wobei f(n) = 1 2 n. Das heißt, jeder natürlichen Zahl n ist eine entsprechende Zahl der Art 1 2 n vergleichbar.
Da jede natürliche Zahl eine einzige Darstellung als Grad einer Zwei hat, ist die Funktion f injektiv, dh jeder Zahl aus der Menge N wird eine andere Zahl der Form 1 2 n zugeordnet.
Daher kann eine Menge von Zahlen der Form 1 2 n mit natürlichen Zahlen geordnet und nummeriert werden, was ihre Zählung bedeutet.
Daher ist eine Menge von Zahlen der Form 1 2 n , wobei n zu N gehört, zählbar.
Überblick über die Eigenschaften einer Menge
Eigenschaften von Zählmengen:
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
|---|---|
| Ordnungsmäßigkeit | Sie können die Elemente einer Menge in aufsteigender Reihenfolge anordnen, beginnend mit der kleinsten Zahl. |
| Aufzählung | Alle Elemente einer Menge können mit einer systematischen Prozedur aufgelistet werden, z. B. mit einer mathematischen Formel. |
| Vergleichbarkeit von Elementen | Jedem Element einer Menge kann eine eindeutige natürliche Zahl zugeordnet werden. |
Eine Menge von Zahlen der Form 1 2n, wobei n zu N gehört, erfüllt alle diese Eigenschaften und ist daher eine Zählmenge.
Zählmenge: Was bedeutet das?
Zum Beispiel ist eine Menge natürlicher Zahlen N = - ein Zählwert, da jeder natürlichen Zahl eine eindeutige Zahl in einer Reihe natürlicher Zahlen zugeordnet werden kann.
In diesem Artikel betrachten wir viele Zahlen der Form 1, 2n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Um zu beweisen, dass diese Menge eine Zählmenge ist, genügt es, eine Biektion (eine gegenseitig eindeutige Übereinstimmung) zwischen den Elementen dieser Menge und den natürlichen Zahlen zu erstellen.
Dazu können Sie die Funktion f (n) = 2n verwenden, wobei n zu einer Menge natürlicher Zahlen gehört. Diese Funktion übersetzt jede natürliche Zahl in einer gegebenen Menge in einen doppelten Wert. Auf diese Weise kann jedem Element der Menge 1, 2n eine eindeutige natürliche Zahl zugeordnet werden und umgekehrt.
Daher ist eine Menge von Zahlen der Form 1, 2n, wobei n zu einer Menge natürlicher Zahlen gehört, zählbar, da seine Elemente mit natürlichen Zahlen nummeriert werden können.
Nachweis der Zählung einer Menge von Zahlen der Art 1 2n
Betrachten Sie die Funktion f(n) = 2n. Diese Funktion ist eine Bijektion zwischen vielen natürlichen Zahlen N und vielen geraden Zahlen E, da jeder natürlichen Zahl n eine eindeutige gerade Zahl 2n zugeordnet wird, und umgekehrt wird jeder geraden Zahl 2n eine eindeutige natürliche Zahl n zugeordnet. Daher ist die Menge der geraden Zahlen E eine Zählung.
Betrachten wir nun die Funktion g(n) = 2n-1. Diese Funktion ist eine Bijektion zwischen vielen natürlichen Zahlen N und vielen ungeraden Zahlen O, da jeder natürlichen Zahl n eine eindeutige ungerade Zahl 2n-1 zugeordnet wird, und umgekehrt wird jeder ungeraden Zahl 2n-1 eine eindeutige natürliche Zahl n zugeordnet. Daher ist die Menge der ungeraden O-Zahlen eine Zählung.
Jetzt kombinieren wir die Mengen E und O, um die Menge aller Zahlen der Form 1 2n zu erhalten. Wir nummerieren alle geraden Zahlen und ungeraden Zahlen nacheinander mit den Funktionen f und g. Danach legen wir alle Zahlen in eine Sequenz.
Daher haben wir eine Bijektion zwischen einer Menge von Zahlen der Art 1 2n und einer Menge natürlicher Zahlen N erstellt, was bedeutet, dass eine Menge von Zahlen der Art 1 2n eine Zählung ist.
