Sätze von geraden und ungeraden Zahlen - dies sind zwei wichtige Teilmengen natürlicher Zahlen. Sie sind Zahlen, die ohne Rest durch 2 geteilt werden (gerade Zahlen) und Zahlen, die ohne Rest durch 2 geteilt werden (ungerade Zahlen).
Der Nachweis der Gleichmäßigkeit einer Menge von geraden und ungeraden Zahlen basiert auf dem Prinzip der Bijektion, das darin besteht, eine gegenseitig eindeutige Übereinstimmung zwischen den Elementen zweier Mengen herzustellen. Der Kern des Beweises ist, dass wir eine solche Bijektion finden können, die jeder geraden Zahl eine ungerade Zahl zuordnet und umgekehrt.
Angenommen, es gibt keine Biektion zwischen den Mengen von geraden und ungeraden Zahlen, dh eine der Mengen wird eine größere Leistung haben. Lassen Sie die Menge der geraden Zahlen gleichmäßig mit der Menge der ungeraden Zahlen übereinstimmen, dann können Sie die Bijektion zwischen diesen Mengen einstellen.
Nehmen wir eine beliebige gerade Zahl und erhöhen Sie sie um 1, um eine ungerade Zahl zu erhalten. So haben wir eine gegenseitig eindeutige Übereinstimmung zwischen jeder geraden Zahl und einer ungeraden Zahl festgestellt. Dies bedeutet, dass die Mengen von geraden und ungeraden Zahlen gleichförmig sind, was zu beweisen war.
Sätze von geraden und ungeraden Zahlen
Eine Menge von geraden Zahlen ist eine Sammlung aller Zahlen, die ohne Rest durch 2 geteilt werden. Zum Beispiel, 2, 4, 6, 8, .
Eine Menge ungerader Zahlen besteht wiederum aus allen Zahlen, die ohne Rest nicht durch 2 geteilt werden. Zum Beispiel, 1, 3, 5, 7, .
Beim ersten Blick mag es so aussehen, als hätten viele gerade Zahlen eine größere Anzahl von Elementen als viele ungerade Zahlen. Schließlich können gerade Zahlen erhalten werden, indem man ungerade Zahlen mit 2 multipliziert. Dies ist jedoch nicht der Fall.
Um die Gleichmäßigkeit von Mengen von geraden und ungeraden Zahlen zu beweisen, können wir eine Bijektion verwenden, dh eine Zuordnung, bei der jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge entspricht.
In diesem Fall können wir die folgende Übereinstimmung feststellen: mit jeder geraden Zahl vergleichen wir die Hälfte, was eine ungerade Zahl sein wird. Zum Beispiel entspricht die Zahl 2 der Zahl 1, die Zahl 4 der Zahl 2 usw.
So haben wir eine zueinander eindeutige Übereinstimmung zwischen den Mengen von geraden und ungeraden Zahlen festgestellt, was ihre Gleichmäßigkeit beweist.
2. Gleichmäßigkeit der Sätze
3. Nachweis der Gleichmäßigkeit von geraden und ungeraden Zahlenmengen
Definition und Eigenschaften einer Menge von geraden Zahlen
Eine Menge von geraden Zahlen besteht aus allen Zahlen, die ohne Rest durch 2 geteilt werden. Es enthält also die Zahlen 0, 2, -2, 4, -4 und so weiter.
Grundlegende Eigenschaften einer Menge von geraden Zahlen:
1. Geschlossenheit in Bezug auf Addition und Subtraktion: Wenn Sie zwei gerade Zahlen nehmen und sie addieren oder subtrahieren, ist das Ergebnis auch eine gerade Zahl. Zum Beispiel, 4 + 6 = 10, -8 - 2 = -10.
2. Geschlossenheit in Bezug auf Multiplikation: Wenn Sie eine gerade Zahl nehmen und sie mit einer beliebigen ganzen Zahl multiplizieren, ist das Ergebnis eine gerade Zahl. Zum Beispiel, 4 * 3 = 12, -6 * 2 = -12.
3. Die Existenz eines neutralen Elements: Die Zahl 0 ist ein neutrales Element, das in einer Menge von geraden Zahlen addiert werden kann. Wenn Sie eine gerade Zahl mit 0 addieren, wird das Ergebnis diese Zahl selbst sein.
4. Geschlossenheit relativ zur Multiplikation mit 2: Die Multiplikation einer geraden Zahl mit 2 ergibt eine andere gerade Zahl. Zum Beispiel, 6 * 2 = 12, -4 * 2 = -8.
Daher hat eine Vielzahl von geraden Zahlen eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die es zu einem interessanten Forschungsobjekt machen. Diese Eigenschaften helfen beim Nachweis der Gleichmäßigkeit einer Reihe von geraden und ungeraden Zahlen.
Definition und Eigenschaften einer ungeraden Zahlenmenge
Viele ungerade Zahlen haben folgende Eigenschaften:
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
|---|---|
| Geschlossenheit relativ zur Addition | Wenn Sie zwei ungerade Zahlen addieren, erhalten Sie eine ungerade Zahl. |
| Geschlossenheit in Bezug auf die Subtraktion | Wenn Sie eine ungerade Zahl von einer ungeraden Zahl subtrahieren, erhalten Sie eine ungerade Zahl. |
| Geschlossenheit in Bezug auf Multiplikation | Wenn Sie zwei ungerade Zahlen multiplizieren, erhalten Sie eine ungerade Zahl. |
| Mehrere ungerade Zahlen die Summe ist immer gerade | Wenn Sie mehrere ungerade Zahlen addieren, erhalten Sie eine gerade Zahl. |
Der Nachweis der Gleichmäßigkeit von Mengen von geraden und ungeraden Zahlen erfordert die Anwendung formaler Mathematik und des Biektionskonzepts, die über den Rahmen dieses Kontexts hinausgehen.
Beweis für die Gleichmäßigkeit der Sätze
Um die Gleichmäßigkeit der Mengen zu beweisen, müssen wir eine biologische Übereinstimmung zwischen den Elementen dieser Mengen herstellen. In diesem Fall vergleichen wir viele gerade Zahlen und viele ungerade Zahlen.
Betrachten wir zunächst die vielen geraden Zahlen separat. Alle geraden Zahlen können als 2n dargestellt werden, wobei n eine ganze Zahl ist. Auf dieser Grundlage können wir die folgende Tabelle erstellen:
| gerade Zahl | Entsprechende ungerade Zahlen |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 3 |
| 6 | 5 |
| 8 | 7 |
| 10 | 9 |
| . | . |
Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, entspricht jeder geraden Zahl eine und nur eine ungerade Zahl. Daher können wir argumentieren, dass viele gerade Zahlen und viele ungerade Zahlen die gleiche Leistung haben.
Da wir eine Bijektion zwischen diesen Mengen installiert haben, sind sie einheitlich.
Injektion zwischen den Sätzen
Lassen Sie uns beweisen, dass die Mengen von geraden und ungeraden Zahlen gleichförmig sind. Erstellen Sie dazu eine Injektion (eine injizierbare Zuordnung) zwischen diesen Mengen.
Sei E die Menge aller geraden Zahlen und O die Menge aller ungeraden Zahlen.
Beachten Sie, dass jede gerade Zahl als 2n dargestellt werden kann, wobei n eine ganze Zahl ist. Und jede ungerade Zahl kann als 2n+ 1 dargestellt werden.
Definieren wir die Funktion f: E -> O wie folgt:
1) Für jede gerade Zahl x von E werden wir ihm eine ungerade Zahl f(x) = x+1 zuordnen;
2) Für jede ungerade Zahl y von O werden wir ihm eine gerade Zahl f(y) = y-1 zuordnen.
Diese Definition der Funktion f bietet eine Injektivität der Anzeige, da die Bedingung f(x1) ≠ f(x2) für alle verschiedenen geraden Zahlen x1 und x2 gilt, da (x1 + 1) ≠ (x2 + 1); ebenso gilt für alle verschiedenen ungeraden Zahlen y1 und y2 die Bedingung f(y1) справедлив f(y2), da (y1 - 1) ≠ (y2 - 1).
Daher haben wir eine Injektion zwischen Mengen von geraden und ungeraden Zahlen erstellt, was bedeutet, dass diese Mengen einheitlich sind.
Surrektion zwischen den Mengen
Der Nachweis der Gleichmäßigkeit einer Menge von geraden Zahlen und einer Menge von ungeraden Zahlen kann auf einer surjektiven Anzeige zwischen ihnen basieren.
Eine Surjektion ist eine Zuordnung von Menge A zu Menge B, wobei jedes Element von Menge B einen Vorbild in Menge A hat. Mit anderen Worten stellt die Surjektion sicher, dass alle Elemente von Menge B von den Elementen von Menge A "abgedeckt" werden.
Um die Gleichmäßigkeit einer Menge von geraden und ungeraden Zahlen zu beweisen, können Sie eine Surjektion von einer Menge von geraden Zahlen zu einer Menge von ungeraden Zahlen erstellen.
Betrachten Sie eine Tabelle, in der alle geraden Zahlen in der ersten Spalte und in der zweiten Spalte die Hälfte ihrer Zahlen geschrieben werden:
| gerade Zahl | Die Hälfte |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 6 | 3 |
| 8 | 4 |
| . | . |
Es ist ersichtlich, dass jeder geraden Zahl eine Hälfte zugeordnet werden kann, die eine ungerade Zahl ist. Auf diese Weise entspricht jedem Element der Menge von geraden Zahlen ein Element der Menge von ungeraden Zahlen.
Diese Zuordnung ist eine Surjektion, da jeder ungeraden Zahl eine der geraden Zahlen entspricht und alle Elemente der ungeraden Zahlenmenge "abgedeckt" werden.
Daher haben wir eine surjektive Zuordnung zwischen vielen geraden Zahlen und vielen ungeraden Zahlen eingerichtet, was ihre Gleichmäßigkeit beweist.
