Progression - dies ist eine Folge von Zahlen, in der jedes nächste Element vom vorherigen abhängt und ein bestimmtes Änderungsgesetz hat. Eine der häufigsten Arten von Progression sind arithmetische und geometrische Progression. Die Fähigkeit zu bestimmen, zu welcher Art von Progression eine Zahlenfolge gehört, ist eine wichtige Fähigkeit in der Mathematik und hat viele praktische Anwendungen.
arithmetische Reihe ist eine Folge von Zahlen, in der jedes nächste Element durch Hinzufügen derselben Zahl zum vorherigen Element erhalten wird, die als Differenz der arithmetischen Progression bezeichnet wird. Zum Beispiel ist die Differenz in Progression 2, 5, 8, 11, 14 3.
Wenn Sie eine Folge von Zahlen erhalten und feststellen müssen, ob es sich um eine arithmetische Progression handelt, sollten Sie die Unterschiede zwischen benachbarten Zahlen beachten. Wenn alle Unterschiede untereinander gleich sind, ist dies eine arithmetische Progression. Für unser Beispiel sind die Differenzen 3, also ist es eine arithmetische Progression.
geometrische Progression ist eine Folge von Zahlen, in der jedes nächste Element durch Multiplizieren des vorherigen Elements mit derselben Zahl, dem Nenner der geometrischen Progression, erhalten wird. Zum Beispiel ist der Nenner in der Progression 2, 6, 18, 54, 162 3.
Um die geometrische Progression zu bestimmen, müssen Sie auf die Beziehungen zwischen benachbarten Zahlen achten. Wenn alle Beziehungen gleich sind, ist dies eine geometrische Progression. In unserem Beispiel sind die Beziehungen 3, daher handelt es sich um eine geometrische Progression.
Was ist arithmetische Progression?
Die Formel der arithmetischen Progression ist:
- an -n-te Mitglied der Progression
- a1 ist das erste Mitglied der Progression
- d - die Differenz der Progression
- n ist die Mitgliedsnummer der Progression
Betrachten Sie zum Beispiel ein Beispiel für eine arithmetische Progression mit dem ersten Term a1 = 2 und der Differenz d = 3. Die ersten fünf Mitglieder der Progression werden sein:
| n | an |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
| 3 | 8 |
| 4 | 11 |
| 5 | 14 |
Die arithmetische Progression ist also eine Folge von Zahlen, bei der der Unterschied zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Termen konstant bleibt.
Die arithmetische Progression bestimmt die Folge von Zahlen
Um die arithmetische Progression zu bestimmen, müssen Sie den ersten Term der Sequenz (a₁) und die Differenz zwischen zwei benachbarten Termen (d) kennen. Nachfolgende Mitglieder der Progression können durch die Formel gefunden werden:
aₙ = a₁ + (n - 1) * d
wobei aₙ das n–te Mitglied der Progression ist, ist n die Nummer des Progression-Mitglieds.
Wenn Sie also den ersten Term und die Differenz kennen, können Sie die arithmetische Progression leicht bestimmen und einen beliebigen Term davon finden.
Wie erkennt man eine arithmetische Progression?
1. Studieren Sie die Reihenfolge der Zahlen sorgfältig. Sehen Sie, ob es ein bestimmtes Muster oder Muster darin gibt.
2. Überprüfen Sie, ob jede nächste Zahl um dieselbe Zahl zunimmt oder sich nicht ändert. Wenn jedes nächste Element durch Addieren oder Subtrahieren derselben Zahl erhalten wird, kann es sich um eine arithmetische Progression handeln.
3. Nachdem Sie festgestellt haben, dass die Sequenz eine arithmetische Progression ist, bestimmen Sie die Differenz zwischen den beiden benachbarten Elementen. Dies kann durch Berechnen der Differenz zwischen zwei beliebigen benachbarten Zahlen erfolgen.
Zum Beispiel, wenn eine Folge von Zahlen wie folgt aussieht: 2, 5, 8, 11, 14, . dann können wir feststellen, dass dies eine arithmetische Progression ist. Der Unterschied zwischen benachbarten Elementen ist in diesem Fall 3.
Daher sind die Hauptzeichen der arithmetischen Progression das Vorhandensein einer konstanten Differenz zwischen den Elementen der Sequenz. Wenn Sie eine arithmetische Progression erkennen, müssen Sie auf die Änderung der Werte jedes nächsten Elements achten und das Muster oder Muster bei diesen Änderungen bestimmen.
Definition der arithmetischen Progression
Eine arithmetische Progression ist eine Sequenz, in der jedes nächste Glied durch Hinzufügen einer konstanten Zahl zum vorherigen Glied erhalten wird, die als Differenz bezeichnet wird.
Wenn für eine bestimmte Sequenz die Eigenschaft ausgeführt wird, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Termen gleich ist, handelt es sich um eine arithmetische Progression. Sie können diese Eigenschaft wie folgt anzeigen:
wo ist an und an-1 - benachbarte Mitglieder der Sequenz, d ist die Differenz zwischen ihnen.
Beispiel für arithmetische Progression:
Hier ist der Unterschied zwischen benachbarten Mitgliedern 3.
Was unterscheidet die geometrische Progression von der arithmetischen?
arithmetische Reihe ist eine Folge von Zahlen, bei der jedes nächste Mitglied durch Hinzufügen oder Subtrahieren derselben Zahl zum vorherigen Mitglied erhalten wird. Betrachten Sie zum Beispiel die Progression 2, 5, 8, 11, 14. Jedes nächste Mitglied wird um 3 erhöht. Auch in der arithmetischen Progression gibt es einen ersten Term, der als a bezeichnet wird, und einen Schritt (Differenz), der als d bezeichnet wird.
Formel zur Berechnung des n-ten Terms der arithmetischen Progression:
an = a + (n-1)d
geometrische Progression ist eine Folge von Zahlen, bei der jedes nächste Glied durch Multiplizieren oder Dividieren des vorherigen Gliedes durch die gleiche Zahl, die als Nenner bezeichnet wird, erhalten wird. Betrachten Sie zum Beispiel die Progression 2, 6, 18, 54, 162. Jedes nächste Mitglied wird mit 3 multipliziert. Es gibt auch geometrisch einen ersten Begriff, der als a bezeichnet wird, und einen Nenner, der als r bezeichnet wird.
Formel zur Berechnung des n-ten Terms der geometrischen Progression:
an = a * r (n-1)
Der Hauptunterschied zwischen der arithmetischen Progression und der geometrischen Progression liegt also in der Methode, das nächste Glied zu erhalten. In der arithmetischen Progression wird Addition oder Subtraktion verwendet, während in der geometrischen Progression Multiplikation oder Division verwendet wird.
Die geometrische Progression bestimmt die Folge von Zahlen, in der jede nächste Zahl durch Multiplikation der vorherigen Zahl mit derselben konstanten Zahl erhalten wird.
Die Formel zur Berechnung des n-ten Terms der geometrischen Progression lautet wie folgt:
| n-te Mitglied | Nenner |
|---|---|
| an = a1 * q n-1 | q |
- an - n-te Mitglied der Progression
- a1 - das erste Mitglied der Progression
- q - Nenner (konstante Zahl)
Beispiel für geometrische Progression:
| Mitglieder der Progression | Nenner |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 6 | 3 |
| 18 | 3 |
In diesem Beispiel ist das erste Glied der Progression 2 und der Nenner 3. Auf diese Weise wird jedes nächste Glied der Progression erhalten, indem das vorherige Glied mit 3 multipliziert wird.
Geometrische Progression wird häufig in Mathematik, Physik, Wirtschaft und anderen Wissenschaften gefunden. Es hat viele praktische Anwendungen und wird verwendet, um verschiedene Prozesse zu modellieren.
