Die Bestimmung, ob ein Funktionsdiagramm einen bestimmten Punkt durchläuft, spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung verschiedener Probleme durch Algebra und mathematische Analyse. Diese Fähigkeit wird häufig im Mathematikunterricht der Schule verwendet, einschließlich der 8. Klasse. Anstatt einen Funktionsdiagramm zu erstellen und zu überprüfen, ob er direkt im Diagramm einen bestimmten Punkt durchläuft, kann ein algebraischer Ansatz verwendet werden, um ihn zu bestimmen.
Das Hauptwerkzeug zum Bestimmen des Durchgangs eines Funktionsgraphen durch einen Punkt ist das Ersetzen der Koordinaten eines Punkts in die Funktion selbst. Wenn der resultierende Ausdruck Null ist, liegt der Punkt im Funktionsdiagramm. Mit dieser Methode können Sie den Durchgang des Diagramms selbst durch einen Punkt bestimmen, ohne das Aussehen des Diagramms selbst zu kennen.
Im Folgenden finden Sie ein Beispiel für eine Aufgabe mit dieser Methode. Wenn die resultierende Gleichung nach der Substitution Null ist, durchläuft das Funktionsdiagramm den gegebenen Punkt; Wenn das Ergebnis nicht Null ist, durchläuft das Funktionsdiagramm den gegebenen Punkt nicht.
Ersetzungsmethode
Um die Ersetzungsmethode anzuwenden, müssen Sie eine Funktionsgleichung haben, die als f(x) = y angegeben ist, wobei f(x) die Funktion selbst ist und y der Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt ist (die y-Koordinate des Punktes).
Als nächstes müssen Sie den x- und y-Wert in die Funktionsgleichung einfügen, um zu bestimmen, ob ein Funktionsdiagramm einen bestimmten Punkt durchläuft, und sicherstellen, dass er korrekt ist.
Die Ersetzungsmethode ist eine ziemlich einfache und bequeme Möglichkeit, die Zugehörigkeit eines Punktes zu einer Funktion zu bestimmen, ohne dass ein Diagramm erstellt werden muss. Es ist jedoch möglicherweise nicht immer effektiv, insbesondere bei der Lösung komplexer und Polynom-Funktionen.
Berechnen einer Funktion an einem Punkt
Um zu bestimmen, ob ein Funktionsdiagramm einen bestimmten Punkt durchläuft, müssen Sie den Funktionswert an diesem Punkt berechnen. Dazu müssen Sie den analytischen Ausdruck der Funktion kennen und den Wert der Variablen (Punktkoordinaten) in diesen Ausdruck einfügen.
Sei die Funktion f(x) = 2x + 5 gegeben. Es muss festgestellt werden, ob sein Diagramm durch Punkt A (2, 9) verläuft.
Ersetzen Sie dazu den Wert x = 2 in den analytischen Funktionsausdruck und berechnen Sie den Wert f (2):
f(2) = 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9
Der Wert der Funktion f(2) ist 9, was der y-Koordinate von Punkt A entspricht. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion diesen Punkt durchläuft.
Untersuchen des Differenzzeichens einer Funktion und der Funktionswerte an einem Punkt
Um festzustellen, ob ein Funktionsdiagramm einen bestimmten Punkt durchläuft, können Sie die Methode verwenden, um das Differenzzeichen einer Funktion und die Funktionswerte an diesem Punkt zu untersuchen.
Um dies zu tun, müssen Sie:
- Berechnen Sie den Funktionswert an einem bestimmten Punkt.
- Berechnet die Differenz zwischen diesem Wert und dem angegebenen Funktionswert.
- Das Zeichen der resultierenden Differenz untersuchen.
Wenn die Differenz positiv ist, verläuft das Funktionsdiagramm über dem angegebenen Punkt. Wenn die Differenz negativ ist, verläuft das Funktionsdiagramm unter dem angegebenen Punkt. Wenn die Differenz Null ist, durchläuft der Funktionsdiagramm den angegebenen Punkt.
Betrachten Sie die Funktion f(x) = 2x - 3 und den Punkt A(2, 1).
Zuerst berechnen wir den Funktionswert an Punkt A:
Dann berechnen wir die Differenz zwischen dem Funktionswert an Punkt A und dem angegebenen Funktionswert:
Da die Differenz Null ist, verläuft der Graph der Funktion durch den Punkt A(2, 1).
Parametrische Methode
Um zu bestimmen, ob ein Funktionsdiagramm mit Hilfe eines parametrischen Verfahrens einen Punkt (x, y) durchläuft, ist Folgendes erforderlich:
Schritt 1: Schreiben Sie die Funktion, deren Diagramm überprüft werden soll, als parametrische Gleichungen x=f(t), y=g(t) auf, wobei t eine unabhängige Variable ist.
Schritt 2: Ersetzen Sie den Wert t, der dem angegebenen Punkt entspricht, durch parametrische Gleichungen, und suchen Sie nach den entsprechenden x- und y-Werten.
Schritt 3: Wenn die gefundenen x- und y-Werte mit den Koordinaten des Punktes (x, y) übereinstimmen, durchläuft das Funktionsdiagramm diesen Punkt. Wenn die Werte nicht übereinstimmen, passiert das Diagramm diesen Punkt nicht.
Mit der parametrischen Methode können Sie den Durchgang eines Funktionsdiagramms durch einen Punkt bestimmen, ohne einen Graphen zu verwenden und die Funktionswerte an einem bestimmten Punkt zu berechnen. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn sich der angegebene Punkt außerhalb des Diagrammbereichs befindet oder wenn das Funktionsdiagramm eine komplexe Kurve darstellt.
