Das rechteckige Dreieck ist eine der häufigsten geometrischen Formen, die in der Mathematik vorkommen und im täglichen Leben verwendet werden. Eine der Aufgaben, denen wir bei der Lösung oft gegenüberstehen, besteht darin, die Dreiecksketten entlang der bekannten Länge der Hypotenuse zu finden.
Um dieses Problem zu lösen, benötigen Sie Kenntnisse des Pythagoras-Satzes, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks der Summe der Quadrate von Katheten entspricht. Basierend auf diesem Satz können Sie eine Formel für die Suche nach Katheten ableiten.
Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck ABC, wobei AC die Hypotenuse ist und AB und BC die Katheten sind. Nach dem Satz des Pythagoras können wir die Gleichung schreiben: AC 2 = AB 2 + BC 2 . Jetzt können wir einen der Katheten durch die bekannte Länge der Hypotenuse und den anderen Katheten ausdrücken.
Wenn wir zum Beispiel die AC-Hypotenuse und die AB-Kathette kennen, können wir BC mit der folgenden Formel finden: BC = √(AC 2 - AB 2 ). Wenn uns die Hypotenuse AC und der BC-Katheter bekannt sind, können wir in ähnlicher Weise AB mit der Formel finden: AB = √(AC 2 - BC 2 ).
Wie finde ich die rechtwinkligen Dreiecksketten entlang der Hypotenuse?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Längen der Katheten entspricht. Mit dieser Formel können Sie einen Katheter durch einen anderen und eine Hypotenuse ausdrücken:
c1 = sqrt(c2 2 - h 2 )
c2 = sqrt(c1 2 - h 2 )
Wo c1 und c2 sie bezeichnen die Kathete und h steht für Hypotenuse.
Definition von Katheten
Um die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks anhand der bekannten Hypotenuse zu bestimmen, müssen Sie den Satz des Pythagoras verwenden und die entsprechenden mathematischen Berechnungen anwenden.
Der Satz des Pythagoras setzt das Verhältnis der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (c) und der Länge seiner Katheten (a und b) in das Verhältnis der Länge der Hypotenuse ein. Die Formel des Pythagoras-Satzes lautet wie folgt:
c^2 = a^2 + b^2
Um die Länge eines Katheters zu finden (nennen wir es a), müssen Sie die bekannte Länge der Hypotenuse (c) durch die Wurzel des Wertes teilen, der durch Subtraktion des Längenquadrats eines anderen Katheters (b) vom Längenquadrat der Hypotenuse erhalten wird. Das heißt:
| Formel | Kathet a |
|---|---|
| a = \sqrt | Das Kathet, nach dem wir suchen |
Ebenso muss die bekannte Länge der Hypotenuse (c) durch die Wurzel des durch Subtraktion des Quadrats der Länge des ersten Katheters (a) vom Quadrat der Länge der Hypotenuse erhaltenen Wertes geteilt werden, um die Länge eines anderen Katheters zu finden (wir bezeichnen ihn als b). Das heißt:
| Formel | Kathet b |
|---|---|
| b = \sqrt | Das Kathet, nach dem wir suchen |
Die Formel zum Finden von Katheten
Es gibt eine Formel, die den Satz des Pythagoras genannt wird, um die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks entlang der bekannten Hypotenuse zu finden:
Das Quadrat des Katheters 1 ist gleich der Differenz zwischen dem Quadrat der Hypotenuse und dem Quadrat des Katheters 2:
wobei a der Wert des ersten Katheters ist, c der Wert der Hypotenuse und b der Wert des zweiten Katheters.
Um den zweiten Katheter zu finden, müssen Sie die Formel konvertieren:
Die Wurzel aus der Differenz zwischen dem Quadrat der Hypotenuse und dem Quadrat des ersten Katheters ist gleich dem zweiten Katheter:
Wenn Sie also die Länge der Hypotenuse und eines der Katheten kennen, können Sie den zweiten Katheten finden und dann mit der Formel des Pythagoras die Längen beider Katheten finden.
Beispiel für eine Problemlösung
Um die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks entlang der bekannten Hypotenuse zu finden, ist es notwendig, den Satz des Pythagoras zu verwenden.
- Es ist bekannt, dass das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Katheten entspricht. Das heißt, die Formel würde wie folgt aussehen: c 2 = a 2 + b 2
- Wir ersetzen den bekannten Wert der Hypotenuse und bezeichnen unbekannte Kathete als a und b. Wenn zum Beispiel die Hypotenuse c = 10 bekannt ist, erhalten wir die Gleichung: 10 2 = a 2 + b 2
- Wir lösen die resultierende Gleichung relativ zu einem der Katheten. Zum Beispiel: aus 10 2 = a 2 + b 2 kann man a 2 = 10 2 - b 2 ausdrücken.
- Wir finden den Wert des Katheters, indem wir die Werte der Hypotenuse und des anderen Katheters kennen. Verwenden Sie den Ausdruck für a 2, den Sie im vorherigen Absatz erhalten haben, und den bekannten Wert eines anderen Katheters, ersetzen Sie die Werte in die Gleichung und lösen Sie sie.
- Wir erhalten die Werte der Kathete. Wenn Sie zum Beispiel den Wert der Hypotenuse c = 10 und eine der Katheten b = 6 kennen, ersetzen Sie die Werte in Gleichung 10 2 = a 2 + 6 2 und finden Sie den Wert der zweiten Kathete a .
Mit dem Satz des Pythagoras und den bekannten Werten der Hypotenuse und einer der Katheten können Sie daher die Werte der übrigen Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks finden.
