Die äußere Ecke eines Dreiecks ist der Winkel, der durch die Fortsetzung einer seiner Seiten und die Fortsetzung der anderen Seite gebildet wird. Das Grad-Maß des äußeren Winkels eines Dreiecks kann berechnet werden, indem man die Grad-Maße der anderen beiden Winkel eines Dreiecks kennt.
Eine der grundlegenden Eigenschaften eines Dreiecks besteht darin, dass die Summe der Grad-Maße seiner Winkel 180 Grad beträgt. Mit dieser Eigenschaft können wir das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks finden, indem wir die Summe der Gradmaße der anderen beiden Winkel von 180 Grad subtrahieren.
Stellen wir uns das Dreieck ABC vor, wobei Winkel A gleich x Grad ist, Winkel B gleich y Grad ist und Winkel C - äußerer Winkel gleich z Grad ist. Mit der Grundeigenschaft eines Dreiecks können wir die Gleichung schreiben:
x + y + z = 180
Daher ist es leicht, das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks auszudrücken:
z = 180 - x - y
Schauen wir uns ein Beispiel an: wenn der Winkel A des Dreiecks ABC 40 Grad beträgt und der Winkel B 60 Grad beträgt, ist das Gradmaß des äußeren Winkels C:
z = 180 - 40 - 60 = 80 grad
Das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks C beträgt also 80 Grad.
Wie finde ich das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks
Das Grad-Maß des äußeren Winkels eines Dreiecks entspricht der Summe der Grad-Maße seiner beiden inneren Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel grenzt. Mit anderen Worten, um das Gradmaß des äußeren Winkels zu finden, müssen Sie die Maße der beiden inneren Winkel addieren, die nicht an ihn angrenzen.
Lassen Sie zum Beispiel das Dreieck ABC angegeben werden, wobei der Winkel von BAC der äußere Winkel ist. Um sein Gradmaß zu finden, müssen Sie die Maße der Winkel ABC und ACB addieren.
Beispiel 1:
Angenommen, der ABC-Winkel beträgt 50 Grad und der ACB-Winkel beträgt 70 Grad. Um das Gradmaß des äußeren Winkels des BAC zu finden, müssen Sie 50 Grad und 70 Grad addieren.
Das Gradmaß des äußeren Winkels von BAC beträgt 120 Grad.
Beispiel 2:
Lass das Dreieck DEF gegeben werden. Der DFE-Winkel beträgt 45 Grad und der EFD-Winkel beträgt 60 Grad. Um das Grad-Maß des äußeren Winkels von DEF zu finden, müssen Sie 45 Grad und 60 Grad addieren.
Das Grad-Maß für den äußeren Winkel von DEF beträgt 105 Grad.
Daher müssen Sie die Maße der beiden inneren Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel grenzen, addieren, um das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks zu finden. Diese einfache Regel macht es einfach, Probleme im Zusammenhang mit Dreiecken zu lösen.
Bestimmen des Gradmaßes des äußeren Winkels eines Dreiecks
Sie können die folgende Formel verwenden, um das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks zu ermitteln:
| Maß für den äußeren Winkel | = | Summe der Grad-Maße der inneren Winkel | - | 180° |
|---|
Wenden wir diese Formel am Beispiel des Dreiecks ABC an:
| Innerer Winkel A | = | 50° | ||
|---|---|---|---|---|
| Innerer Winkel B | = | 70° | ||
| Maß für den äußeren Winkel von C | = | (50° + 70°) - 180° | = | 120° |
Das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks ABC beträgt also 120 °.
Mit dieser Formel können Sie das Grad-Maß des äußeren Winkels eines Dreiecks leicht bestimmen, wenn die Grad-Maße seiner inneren Winkel bekannt sind.
Formeln zur Berechnung des Gradmaßes des äußeren Winkels eines Dreiecks
Das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks wird durch die Formel bestimmt: das Maß des äußeren Winkels eines Dreiecks entspricht der Summe der Maße der inneren Winkel, die nicht an diesen Winkel angrenzen.
Sie können die Formel wie folgt schreiben:
maß für äußeren Winkel = Maß für ersten inneren Winkel + Maß für zweiten inneren Winkel + Maß für dritten inneren Winkel
Wenn beispielsweise die Winkel eines Dreiecks die Maße 30°, 60° und 90° aufweisen, lautet das Gradmaß des äußeren Winkels:
- maß für den ersten inneren Winkel: 30°
- maß für den zweiten inneren Winkel: 60°
- maß für den dritten inneren Winkel: 90°
Ersetzen Sie die Werte in die Formel:
maß für den äußeren Winkel = 30° + 60° + 90°
maß für den äußeren Winkel = 180°
Das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks mit den Winkeln 30°, 60° und 90° beträgt also 180 °.
Beispiele für die Berechnung des Gradmaßes des äußeren Winkels eines Dreiecks
Um das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks zu berechnen, müssen Sie die Gradmaßwerte der beiden inneren Winkel dieses Dreiecks kennen und die folgende Formel verwenden:
Das Grad-Maß des äußeren Winkels eines Dreiecks entspricht der Summe der Grad-Maße zweier innerer Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel angrenzen.
Schauen wir uns einige Beispiele an:
- Wir haben ein Dreieck ABC, wo Winkel A 60 Grad ist, Winkel B 80 Grad ist und Winkel C 40 Grad ist. Finden wir das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von A. Gemäß der Formel entspricht das Grad-Maß des äußeren Winkels der Summe der Grad-Maße zweier innerer Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel angrenzen. In diesem Fall sind dies die Winkel B und C. Die Summe der Grad-Maße der Winkel B und C beträgt 80 + 40 = 120 Grad. Das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von A beträgt also 120 Grad.
- Betrachten Sie das Dreieck XYZ mit den folgenden Graden der inneren Winkel: Der Winkel von X ist 45 Grad, der Winkel von Y ist 60 Grad und der Winkel von Z ist 75 Grad. Finden wir das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von Z. Gemäß der Formel entspricht das Grad-Maß des äußeren Winkels der Summe der Grad-Maße zweier innerer Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel angrenzen. In diesem Fall sind es die Winkel X und Y. Die Summe der Grad-Maße der Winkel X und Y beträgt 45 + 60 = 105 Grad. Das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von Z ist also 105 Grad.
- Betrachten Sie für das letzte Beispiel das Dreieck PQR. Sei der Winkel von P 30 Grad, der Winkel von Q ist 45 Grad und der Winkel von R ist 75 Grad. Wir werden das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von R finden. Gemäß der Formel entspricht das Grad-Maß des äußeren Winkels der Summe der Grad-Maße zweier innerer Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel angrenzen. In diesem Fall sind dies die Winkel P und Q. Die Summe der Grad-Maße der Winkel P und Q ist 30 + 45 = 75 Grad. Das Gradmaß des äußeren Winkels des Dreiecks an der Spitze von R beträgt also 75 Grad.
Hoffentlich haben diese Beispiele Ihnen geholfen, besser zu verstehen, wie Sie das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks berechnen können.
Wert des Gradmaßes des äußeren Winkels für verschiedene Arten von Dreiecken
1. gleichseitiges Dreieck:
Am äußeren Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt das Grad-Maß 120 °. Alle äußeren Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind einander gleich, da alle Seiten und Winkel dieses Dreiecks gleich sind.
2. gleichschenkliges Dreieck:
An der äußeren Ecke eines gleichschenkligen Dreiecks entspricht das Grad-Maß der Hälfte des Winkels zwischen der Basis und der seitlichen Seite. Hier ist der äußere Winkel immer größer als der Hauptwinkel um 180 °.
3. rechtwinkliges Dreieck:
An der äußeren Ecke eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht das Grad-Maß der Summe der Grad-Maße zweier scharfer Winkel, die nicht an diesen äußeren Winkel angrenzen.
4. spitzwinkliges Dreieck:
An der äußeren Ecke eines spitzen Dreiecks entspricht das Grad-Maß der Summe der Grad-Maße der beiden inneren Winkel, die an diesen äußeren Winkel angrenzen.
5. stumpfwinkliges Dreieck:
An der äußeren Ecke eines stumpfen Dreiecks entspricht das Grad-Maß der Differenz von 180° und dem Grad-Maß des inneren Winkels, der an diesen äußeren Winkel angrenzt.
Eigenschaften der äußeren Winkel eines Dreiecks
Die Haupteigenschaft der äußeren Winkel eines Dreiecks besteht darin, dass ihre Summe immer 360 Grad beträgt. Diese Eigenschaft ist darauf zurückzuführen, dass bei der Addition der inneren und äußeren Ecken des Dreiecks eine vollständige Umdrehung erhalten wird. Wenn Sie daher das Maß eines äußeren Winkels kennen, können Sie die Maße anderer äußerer Winkel definieren oder berechnen.
Sie können die folgende Formel verwenden, um das Gradmaß des äußeren Winkels eines Dreiecks zu berechnen:
Gradmaß des äußeren Winkels = 360 Grad ist ein Gradmaß des entsprechenden inneren Winkels.
Wenn das Maß des inneren Winkels eines Dreiecks beispielsweise 50 Grad beträgt, lautet das Maß des entsprechenden äußeren Winkels:
Ein Grad-Maß für den äußeren Winkel = 360 Grad - 50 Grad = 310 Grad.
Daher ist das Maß für jeden äußeren Winkel eines Dreiecks immer größer als das Maß des entsprechenden inneren Winkels um 180 Grad.
Die Berechnung des Gradmaßes des äußeren Winkels eines Dreiecks kann bei verschiedenen geometrischen Problemen nützlich sein, z. B. beim Zeichnen von Dreiecken nach bekannten Winkeln oder beim Finden unbekannter Winkelmaße an bekannten Seiten eines Dreiecks.
